Calcolo Esempi

$y = (6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 6 x^{2} - 12 x + 12$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 12]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [6 x^{2} - 12 x + 12]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 12 x + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 3.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $2$ per $6$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 3.3.8

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12 + 0)$

Passaggio 3.3.9

Somma $12 x - 12$ e $0$ .

$(6 x^{2} - 12 x + 12) e^{x} + e^{x} (12 x - 12)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x - 12)$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x) + e^{x} \cdot - 12$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.3.1

Sposta $- 12$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} - 12 x e^{x} + 12 e^{x} + e^{x} (12 x) - 12 \cdot e^{x}$

Passaggio 3.4.3.2

Somma $- 12 x e^{x}$ e $e^{x} (12 x)$ .

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Passaggio 3.4.3.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 12 x e^{x} + 12 x e^{x} - 12 e^{x}$

Passaggio 3.4.3.2.2

Somma $- 12 x e^{x}$ e $12 x e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} + 0 - 12 e^{x}$

Passaggio 3.4.3.3

Somma $6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x}$ e $0$ .

$6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} - 12 e^{x}$

Passaggio 3.4.3.4

Sottrai $12 e^{x}$ da $12 e^{x}$ .

$6 x^{2} e^{x} + 0$

Passaggio 3.4.3.5

Somma $6 x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$6 x^{2} e^{x}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori di $6 x^{2} e^{x}$ .

$6 e^{x} x^{2}$

Passaggio 3.4.5

Riordina i fattori in $6 e^{x} x^{2}$ .

$6 x^{2} e^{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 6 x^{2} e^{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} e^{x}$