Calcolo Esempi

$y = 3 x e^{x} - 3 e^{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x e^{x} - 3 e^{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x e^{x} - 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) - 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) - 3 e^{x}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x e^{x}) + 3 e^{x} - 3 e^{x}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $3 e^{x}$ da $3 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 0$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $3 x e^{x}$ e $0$ .

$3 x e^{x}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i fattori di $3 x e^{x}$ .

$3 e^{x} x$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori in $3 e^{x} x$ .

$3 x e^{x}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 3 x e^{x}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x e^{x}$