Calcolo Esempi

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2)$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.9

$3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.9

$- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.11

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$