Calcolo Esempi

$y = \frac{8 x + 7}{\sqrt{x}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 8 x + 7$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x + 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.5

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.7

Moltiplica $8$ per $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.8

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + 0) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.9.1

Somma $8$ e $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.9.2

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Passaggio 4.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Passaggio 4.12

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Passaggio 4.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Passaggio 4.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.14.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Passaggio 4.14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Passaggio 4.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Passaggio 4.16

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Passaggio 4.17

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + (- (8 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.3.1.1

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.2.2

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.3

$- 4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.4

$x$ e $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.5

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.3.1.6.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.6.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.3.1.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.6.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.7

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.9

$- 7$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.3.2

Sottrai $4 x^{\frac{1}{2}}$ da $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.4.1

Per scrivere $4 x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.2

$4 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.4.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.4.4.2.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{1} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4.3

Semplifica $4 \cdot 2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.4.4.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Passaggio 4.18.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 4.18.6

Moltiplica $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.18.6.1

Moltiplica $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Passaggio 4.18.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.18.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.6.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18.6.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 4.18.6.6

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$