Calcolo Esempi

$y = x^{3} e^{x^{5}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x^{5}})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x^{5}}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x^{5}}] + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$x^{3} (e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{3} (e^{x^{5}} (5 x^{4})) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $x^{4}$ .

$x^{4} x^{3} (e^{x^{5}} \cdot (5)) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{4 + 3} (e^{x^{5}} \cdot (5)) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.4.3

Somma $4$ e $3$ .

$x^{7} (e^{x^{5}} \cdot (5)) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.5

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{x^{5}}$ .

$x^{7} (5 \cdot e^{x^{5}}) + e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{7} (5 e^{x^{5}}) + e^{x^{5}} (3 x^{2})$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Riordina i termini.

$5 e^{x^{5}} x^{7} + 3 e^{x^{5}} x^{2}$

Passaggio 3.7.2

Riordina i fattori in $5 e^{x^{5}} x^{7} + 3 e^{x^{5}} x^{2}$ .

$5 x^{7} e^{x^{5}} + 3 x^{2} e^{x^{5}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 5 x^{7} e^{x^{5}} + 3 x^{2} e^{x^{5}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{7} e^{x^{5}} + 3 x^{2} e^{x^{5}}$