Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{2}{3}} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 1$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Passaggio 1.1.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Passaggio 2.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Passaggio 2.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica per $3 x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 1$ per $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = 1 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $3 x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$2 = 3 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Passaggio 2.5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = {(\frac{2}{3})}^{3}$

Passaggio 2.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1

Semplifica ${(\frac{2}{3})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2^{3}}{3^{3}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$x = \frac{8}{3^{3}}$

Passaggio 2.5.4.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$x = \frac{8}{27}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{8}{27}$ .

$\frac{8}{27}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Passaggio 4.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}} - 1$

Passaggio 4.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 4.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.2.1.4

Semplifica.

$27 x = 0^{3}$

Passaggio 4.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 x = 0$

Passaggio 4.3.3

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x = 0$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Passaggio 4.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

$x = 0$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{8}{27}) \cup (\frac{8}{27}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Passaggio 6.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}} - 1$

Passaggio 6.2.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 (- 1)} - 1$

Passaggio 6.2.1.1.4

Calcola l'esponente.

$f' (- 1) = \frac{2}{3 \cdot - 1} - 1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{- 3} - 1$

Passaggio 6.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2 - 3}{3}$

Passaggio 6.2.5.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 6.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 1) = - \frac{5}{3}$

Passaggio 6.2.7

La risposta finale è $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- \frac{5}{3}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{8}{27})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.\overline{148}$ nell'espressione.

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 {(0.\overline{148})}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.\overline{148}$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{3 \cdot 0.52913368} - 1$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0.52913368$ .

$f' (0.\overline{148}) = \frac{2}{1.58740105} - 1$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $2$ per $1.58740105$ .

$f' (0.\overline{148}) = 1.25992104 - 1$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $1$ da $1.25992104$ .

$f' (0.\overline{148}) = 0.25992104$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.25992104$ .

$0.25992104$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0.\overline{148}$ la derivata è $0.25992104$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \frac{8}{27})$ .

Crescente su $(0, \frac{8}{27})$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{8}{27}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.2962963$ nell'espressione.

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 {(1.2962963)}^{\frac{1}{3}}} - 1$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $1.2962963$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3 \cdot 1.09035543} - 1$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1.09035543$ .

$f' (1.2962963) = \frac{2}{3.27106631} - 1$

Passaggio 8.2.1.3

Dividi $2$ per $3.27106631$ .

$f' (1.2962963) = 0.61142141 - 1$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $1$ da $0.61142141$ .

$f' (1.2962963) = - 0.38857858$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 0.38857858$ .

$- 0.38857858$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1.2962963$ la derivata è $- 0.38857858$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(\frac{8}{27}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{8}{27}, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, \frac{8}{27})$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (\frac{8}{27}, \infty)$

Passaggio 10