Calcolo Esempi

$y = {(6 x - 5)}^{2} {(3 - x^{5})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(6 x - 5)}^{2}$ e $g (x) = {(3 - x^{5})}^{2}$ .

${(6 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 - x^{5})}^{2}] + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 - x^{5}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 u \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - x^{5}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [3 - x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [- x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (2 (3 - x^{5}) (- \frac{d}{d x} [x^{5}])) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 2 (3 - x^{5}) (5 x^{4})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 3.7

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 (3 - x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} ((- 10 \cdot 3 - 10 (- x^{5})) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (- 10 \cdot 3 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 10$ per $3$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} - 10 (- x^{5}) x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{5} x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $x^{5}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.3.1

Sposta $x^{4}$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 (x^{4} x^{5})) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4.3.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{4 + 5}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4.3.3.3

Somma $4$ e $5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (- 30 x^{4} + 10 x^{9}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [{(6 x - 5)}^{2}]$

Passaggio 5

Riscrivi ${(6 x - 5)}^{2}$ come $(6 x - 5) (6 x - 5)$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [(6 x - 5) (6 x - 5)]$

Passaggio 6

Espandi $(6 x - 5) (6 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x - 5) - 5 (6 x - 5)]$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x - 5)]$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 x (6 x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Passaggio 7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1.2.1

Sposta $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [6 \cdot 6 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} + 6 x \cdot - 5 - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $- 5$ per $6$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 5 (6 x) - 5 \cdot - 5]$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $6$ per $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x - 5 \cdot - 5]$

Passaggio 7.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 30 x - 30 x + 25]$

Passaggio 7.2

Sottrai $30 x$ da $- 30 x$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} \frac{d}{d x} [36 x^{2} - 60 x + 25]$

Passaggio 8

Secondo la regola della somma, la derivata di $36 x^{2} - 60 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (\frac{d}{d x} [36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 9

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (36 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 11

Moltiplica $2$ per $36$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 12

Poiché $- 60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 60 x$ rispetto a $x$ è $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 14

Moltiplica $- 60$ per $1$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + \frac{d}{d x} [25])$

Passaggio 15

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60 + 0)$

Passaggio 16

Somma $72 x - 60$ e $0$ .

${(6 x - 5)}^{2} (10 x^{9} - 30 x^{4}) + {(3 - x^{5})}^{2} (72 x - 60)$