Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{(3 x)}}{x^{6}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{(3 x)}}{lim_{x \to \infty} x^{6}}$

Passaggio 1.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{(3 x)}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{6}}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{(3 x)}}{x^{6}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{(3 x)}]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{(3 x)}]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x^{6}]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{6 x^{5}}$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $3$ da $3 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{6 x^{5}}$

Passaggio 4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Scomponi $3$ da $6 x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x})}{3 (2 x^{5})}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 (2 x^{5})}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{2 x^{5}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 2 x^{5}}$

Passaggio 5.1.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x^{5}}$

Passaggio 5.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{2 x^{5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [2 x^{5}]}$

Passaggio 5.3.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{5}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{2 \frac{d}{d x} [x^{5}]}$

Passaggio 5.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{2 (5 x^{4})}$

Passaggio 5.3.9

Moltiplica $5$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{10 x^{4}}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 10 x^{4}}$

Passaggio 6.1.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 10 x^{4}}$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10 x^{4}}$

Passaggio 6.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{10 x^{4}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $9$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [10 x^{4}]}$

Passaggio 6.3.8

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{4}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{10 \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 6.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{10 (4 x^{3})}$

Passaggio 6.3.10

Moltiplica $4$ per $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{40 x^{3}}$

Passaggio 7

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 9 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 40 x^{3}}$

Passaggio 7.1.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $9$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $9$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 40 x^{3}}$

Passaggio 7.1.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 40 x^{3}}$

Passaggio 7.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{40 x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $3$ per $9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.7

Moltiplica $27$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [40 x^{3}]}$

Passaggio 7.3.8

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x^{3}$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{40 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Passaggio 7.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{40 (3 x^{2})}$

Passaggio 7.3.10

Moltiplica $3$ per $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{120 x^{2}}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $27$ e $120$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Scomponi $3$ da $27 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 e^{3 x})}{120 x^{2}}$

Passaggio 7.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Scomponi $3$ da $120 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 e^{3 x})}{3 (40 x^{2})}$

Passaggio 7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (9 e^{3 x})}{3 (40 x^{2})}$

Passaggio 7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{40 x^{2}}$

Passaggio 8

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 9 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 40 x^{2}}$

Passaggio 8.1.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $9$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $9$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 40 x^{2}}$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 40 x^{2}}$

Passaggio 8.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 8.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 8.2

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{40 x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $3$ per $9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $27$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [40 x^{2}]}$

Passaggio 8.3.8

Poiché $40$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $40 x^{2}$ rispetto a $x$ è $40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{40 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Passaggio 8.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{40 (2 x)}$

Passaggio 8.3.10

Moltiplica $2$ per $40$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{80 x}$

Passaggio 9

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 27 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 80 x}$

Passaggio 9.1.2

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $27$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $27$ rimosso.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 80 x}$

Passaggio 9.1.2.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 80 x}$

Passaggio 9.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x}}{80 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [27 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 9.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [27 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.2

Poiché $27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $27 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $27 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 9.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{27 e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $3$ per $27$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{81 e^{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{81 e^{3 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $81$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{81 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [80 x]}$

Passaggio 9.3.8

Poiché $80$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $80 x$ rispetto a $x$ è $80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{81 e^{3 x}}{80 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 9.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{81 e^{3 x}}{80 \cdot 1}$

Passaggio 9.3.10

Moltiplica $80$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{81 e^{3 x}}{80}$

Passaggio 10

Poiché la funzione $e^{3 x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $\frac{81}{80}$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

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Passaggio 10.1

Considera il limite con il multiplo costante $\frac{81}{80}$ rimosso.

$lim_{x \to \infty} e^{3 x}$

Passaggio 10.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\infty$