Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 2$ e $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica $x^{2} - 3 x - 10$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 3 x - 10)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 3 x) + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} (- 10))}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.10

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Espandi $(- x - 2) (2 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.1.3.2

Sottrai $4 x$ da $3 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sottrai $x$ da $- 3 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2.4

Somma $- 10$ e $6$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e la cui somma è $b = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 2$ più $- 2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f' (x) = \frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f' (x) = \frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 2$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Scomponi $x^{2} - 3 x - 10$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 10$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 5, 2$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 5) (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{(- (x) - 1 \cdot 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (2)$ .

$f' (x) = \frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.4

Riscrivi $- (x + 2)$ come $- 1 (x + 2)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.5

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.6

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 ((x + 2) (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6

Elimina il fattore comune di ${(x + 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ come ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 5$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 5$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0) + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Passaggio 1.2.4.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 1.2.4.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3} + 0$

Passaggio 1.2.4.7.2

Somma $2 {(x - 5)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 {(x - 5)}^{- 3}$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

Passaggio 1.2.5.2

$2$ e $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Non è stato trovato alcun valore in grado di rendere la derivata seconda uguale a $0$ .

Nessun punto di flesso