Calcolo Esempi

$(1 - e^{z}) (z + e^{z})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = 1 - e^{z}$ e $g (z) = z + e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) \frac{d}{d z} [z + e^{z}] + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Passaggio 2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $z + e^{z}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 - e^{z}) (1 + \frac{d}{d z} [e^{z}]) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ è $a^{z} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [1 - e^{z}]$

Passaggio 4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - e^{z}$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (0 + \frac{d}{d z} [- e^{z}])$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d z} [- e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) \frac{d}{d z} [- e^{z}]$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- e^{z}$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [e^{z}]$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- \frac{d}{d z} [e^{z}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ è $a^{z} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + (z + e^{z}) (- e^{z})$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} (- e^{z})$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $e^{z}$ per $e^{z}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Sposta $e^{z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z} e^{z} \cdot - 1$

Passaggio 6.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{z + z} \cdot - 1$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $z$ e $z$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) + e^{2 z} \cdot - 1$

Passaggio 6.2.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - 1 \cdot e^{2 z}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $- 1 e^{2 z}$ come $- e^{2 z}$ .

$(1 - e^{z}) (1 + e^{z}) + z (- e^{z}) - e^{2 z}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$(1 + e^{z}) (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Espandi $(1 + e^{z}) (1 - e^{z})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} (1 - e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- e^{z}) + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.1.2

Moltiplica $- e^{z}$ per $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} \cdot 1 + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.1.3

Moltiplica $e^{z}$ per $1$ .

$1 - e^{z} + e^{z} + e^{z} (- e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z} e^{z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.1.5

Moltiplica $e^{z}$ per $e^{z}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1.5.1

Sposta $e^{z}$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - (e^{z} e^{z}) - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{z + z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.1.5.3

Somma $z$ e $z$ .

$1 - e^{z} + e^{z} - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $- e^{z}$ e $e^{z}$ .

$1 + 0 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.4.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - e^{2 z} - e^{z} z - e^{2 z}$

Passaggio 6.5

Sottrai $e^{2 z}$ da $- e^{2 z}$ .

$1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$

Passaggio 6.6

Riordina i fattori in $1 - e^{z} z - 2 e^{2 z}$ .

$1 - z e^{z} - 2 e^{2 z}$