Calcolo Esempi

$\frac{x^{4} + 6 y^{5}}{x^{5} + y^{6}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = x^{4} + 6 y^{5}$ e $g (y) = x^{5} + y^{6}$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [x^{4} + 6 y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 6 y^{5}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $x^{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{4}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (0 + \frac{d}{d y} [6 y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [6 y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [6 y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6 y^{5}$ rispetto a $y$ è $6 \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{(x^{5} + y^{6}) (6 \frac{d}{d y} [y^{5}]) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{5} + y^{6}$ .

$\frac{6 \cdot (x^{5} + y^{6}) \frac{d}{d y} [y^{5}] - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{6 (x^{5} + y^{6}) (5 y^{4}) - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $5$ per $6$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [x^{5} + y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + y^{6}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{6}])}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Poiché $x^{5}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{5}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (0 + \frac{d}{d y} [y^{6}])}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y^{6}]$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) \frac{d}{d y} [y^{6}]}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - (x^{4} + 6 y^{5}) (6 y^{5})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 2.12

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{30 (x^{5} + y^{6}) y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(30 x^{5} + 30 y^{6}) y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} - 6 (x^{4} + 6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} + (- 6 x^{4} - 6 (6 y^{5})) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{6} y^{4} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $y^{6}$ per $y^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.1.1

Sposta $y^{4}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 (y^{4} y^{6}) - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{4 + 6} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.1.3

Somma $4$ e $6$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5}) y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $y^{5}$ per $y^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.2.1

Sposta $y^{5}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 (y^{5} y^{5}))}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{5 + 5})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2.3

Somma $5$ e $5$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 6 (6 y^{10})}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.3

Moltiplica $6$ per $- 6$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} + 30 y^{10} - 6 x^{4} y^{5} - 36 y^{10}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $36 y^{10}$ da $30 y^{10}$ .

$\frac{30 x^{5} y^{4} - 6 y^{10} - 6 x^{4} y^{5}}{{(x^{5} + y^{6})}^{2}}$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$\frac{- 6 y^{10} + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.7

Scomponi $6 y^{4}$ da $- 6 y^{10} + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}$ .

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Passaggio 3.7.1

Scomponi $6 y^{4}$ da $- 6 y^{10}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 30 x^{5} y^{4} - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.7.2

Scomponi $6 y^{4}$ da $30 x^{5} y^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5}) - 6 y^{5} x^{4}}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.7.3

Scomponi $6 y^{4}$ da $- 6 y^{5} x^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.7.4

Scomponi $6 y^{4}$ da $6 y^{4} (- y^{6}) + 6 y^{4} (5 x^{5})$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.7.5

Scomponi $6 y^{4}$ da $6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5}) + 6 y^{4} (- y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- y^{6} + 5 x^{5} - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.8

Scomponi $- 1$ da $- y^{6}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6}) + 5 x^{5} - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.9

Scomponi $- 1$ da $5 x^{5}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6}) - (- 5 x^{5}) - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.10

Scomponi $- 1$ da $- (y^{6}) - (- 5 x^{5})$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5}) - y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.11

Scomponi $- 1$ da $- y x^{4}$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5}) - (y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.12

Scomponi $- 1$ da $- (y^{6} - 5 x^{5}) - (y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.13

Riscrivi $- (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})$ come $- 1 (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})$ .

$\frac{6 y^{4} (- 1 (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4}))}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(6 y^{4}) (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$

Passaggio 3.15

Riordina i fattori in $- \frac{(6 y^{4}) (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$ .

$- \frac{6 y^{4} (y^{6} - 5 x^{5} + y x^{4})}{{(y^{6} + x^{5})}^{2}}$