Calcolo Esempi

${(\frac{t^{3}}{t^{6} + 5})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{6} + 5}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{t^{3}}{t^{6} + 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 5}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 5}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{t^{3}}{t^{6} + 5}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{6} + 5} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 5}]$

Passaggio 2

$2$ e $\frac{t^{3}}{t^{6} + 5}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 5}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = t^{6} + 5$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{(t^{6} + 5) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 5]}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{(t^{6} + 5) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 5]}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $t^{6} + 5$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 \cdot (t^{6} + 5) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 5]}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{6} + 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5])}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5])}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + 0)}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.6.1

Somma $6 t^{5}$ e $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - t^{3} (6 t^{5})}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{3} t^{5}}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $t^{5}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 (t^{5} t^{3})}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{5 + 3}}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $5$ e $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5} \cdot \frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 5}$ per $\frac{3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{8})}{(t^{6} + 5) {(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 7

Moltiplica $t^{6} + 5$ per ${(t^{6} + 5)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $t^{6} + 5$ per ${(t^{6} + 5)}^{2}$ .

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Passaggio 7.1.1

Eleva $t^{6} + 5$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{1} {(t^{6} + 5)}^{2}}$

Passaggio 7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{1 + 2}}$

Passaggio 7.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 5) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{6} + 3 \cdot 5) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2} + 3 \cdot 5 t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.4.1.1

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{6}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.1.1

Sposta $t^{6}$ .

$\frac{2 (t^{6} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 t^{6 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.1.3

Somma $6$ e $3$ .

$\frac{2 t^{9} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 \cdot 3 t^{9} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.3

Moltiplica $t^{9}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.3.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{9}) + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 9} + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.3.3

Somma $2$ e $9$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 5 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 5 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.6

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.6.1

Sposta $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 5 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 5 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.6.3

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 5 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.7

Moltiplica $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Passaggio 8.4.1.7.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 6 \cdot 5 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.7.2

Moltiplica $6$ per $5$ .

$\frac{6 t^{11} + 30 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.8

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 t^{11} + 30 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{3} t^{8}}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.9

Moltiplica $t^{3}$ per $t^{8}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.9.1

Sposta $t^{8}$ .

$\frac{6 t^{11} + 30 t^{5} + 2 \cdot - 6 (t^{8} t^{3})}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.9.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 t^{11} + 30 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{8 + 3}}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.9.3

Somma $8$ e $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 30 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{11}}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.1.10

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{6 t^{11} + 30 t^{5} - 12 t^{11}}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.4.2

Sottrai $12 t^{11}$ da $6 t^{11}$ .

$\frac{- 6 t^{11} + 30 t^{5}}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.5

Scomponi $6 t^{5}$ da $- 6 t^{11} + 30 t^{5}$ .

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Passaggio 8.5.1

Scomponi $6 t^{5}$ da $- 6 t^{11}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 30 t^{5}}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.5.2

Scomponi $6 t^{5}$ da $30 t^{5}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (5)}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.5.3

Scomponi $6 t^{5}$ da $6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (5)$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6} + 5)}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.6

Scomponi $- 1$ da $- t^{6}$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) + 5)}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.7

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) - 1 (- 5))}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.8

Scomponi $- 1$ da $- (t^{6}) - 1 (- 5)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6} - 5))}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.9

Riscrivi $- (t^{6} - 5)$ come $- 1 (t^{6} - 5)$ .

$\frac{6 t^{5} (- 1 (t^{6} - 5))}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$

Passaggio 8.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(6 t^{5}) (t^{6} - 5)}{{(t^{6} + 5)}^{3}}$