Calcolo Esempi

$y = \sqrt{x} (x - 14)$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} (x - 14)$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}} (x - 14))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 14$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 14] + (x - 14) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia.

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Passaggio 4.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 14$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 14]) + (x - 14) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 14]) + (x - 14) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.3

Poiché $- 14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 14$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 14) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 14) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 4.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.9

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 14) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10

Semplifica.

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Passaggio 4.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.10.2.1

$x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.3

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.10.2.3.1

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.10.2.3.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.3.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 14 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.4

$- 14$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 14}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.5

Scomponi $2$ da $- 14$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.10.2.6.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 4.10.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.8

Per scrivere $x^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.9

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.11

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.10.2.12

Somma $2 x^{\frac{1}{2}}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{7}{x^{\frac{1}{2}}}$