Calcolo Esempi

$x \sqrt{y} = 1$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y^{\frac{1}{2}} = 1$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.8

$\frac{1}{2}$ e $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.9

Sposta $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]) + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.10

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y] + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.11

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}} y' + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.12

$\frac{x}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ e $y'$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 3.14

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + y^{\frac{1}{2}} = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova un fattore comune $y^{\frac{1}{2}}$ che è presente in ciascun termine.

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $u$ a $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x {y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $x {y'}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + u = 0$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({y'}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Passaggio 6.3.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + u = 0$

Passaggio 6.3.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 x^{2} {y'}^{1}} + u = 0$

Passaggio 6.3.1.3

Semplifica.

$\frac{1}{2 x^{2} y'} + u = 0$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $\frac{1}{2 x^{2} y'}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Passaggio 6.4

Sostituisci $y'$ a $u$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x^{2} y'}$

Passaggio 6.5

Sottrai $y^{\frac{1}{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} = - y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.6

Moltiplica ogni lato per $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}}) = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1

Semplifica $\frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.7.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.7.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.7.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}} = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.7.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x y' = - y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Semplifica $- y^{\frac{1}{2}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.7.2.1.2

Moltiplica $y^{\frac{1}{2}}$ per $y^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1.2.1

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.7.2.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 6.7.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{1 + 1}{2}}$

Passaggio 6.7.2.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 6.7.2.1.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y^{1}$

Passaggio 6.7.2.1.3

Semplifica $- 1 \cdot 2 y^{1}$ .

$x y' = - 1 \cdot 2 y$

Passaggio 6.7.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x y' = - 2 y$

Passaggio 6.8

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y' = - 2 y$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Passaggio 6.8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 y}{x}$

Passaggio 6.8.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x}$

Passaggio 6.8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 y}{x}$

Passaggio 7

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x}$