Calcolo Esempi

$\sum_{n = 3}^{20} n (n + 1)$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Applica la proprietà distributiva.

$n \cdot n + n \cdot 1$

Passaggio 1.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$n^{2} + n \cdot 1$

Passaggio 1.3

Moltiplica $n$ per $1$ .

$n^{2} + n$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $n$ uguale a $1$ .

$\sum_{n = 3}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n - \sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{n = 1}^{20} n^{2} + n = \sum_{n = 1}^{20} n^{2} + \sum_{n = 1}^{20} n$

Passaggio 3.2

Calcola $\sum_{n = 1}^{20} n^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Passaggio 3.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Passaggio 3.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Passaggio 3.2.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Moltiplica $2$ per $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Somma $20$ e $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Passaggio 3.2.3.2.3

Moltiplica $10$ per $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Passaggio 3.2.3.2.4

Somma $40$ e $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Passaggio 3.2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.3.1

Moltiplica $210$ per $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Passaggio 3.2.3.3.2

Dividi $8610$ per $3$ .

$2870$

Passaggio 3.3

Calcola $\sum_{n = 1}^{20} n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 3.3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{20 (20 + 1)}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $20 (20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 (1)}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (10 (20 + 1))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10 (20 + 1)}{1}$

Passaggio 3.3.3.1.2.4

Dividi $10 (20 + 1)$ per $1$ .

$10 (20 + 1)$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Somma $20$ e $1$ .

$10 \cdot 21$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $10$ per $21$ .

$210$

Passaggio 3.4

Somma i risultati delle sommatorie.

$2870 + 210$

Passaggio 3.5

Somma $2870$ e $210$ .

$3080$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{n = 1}^{2} n^{2} + n$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Espandi la serie per ciascun valore di $n$ .

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 2$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 + 1 + 2^{2} + 2$

Passaggio 4.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$2 + 2^{2} + 2$

Passaggio 4.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 + 4 + 2$

Passaggio 4.2.4

Somma $4$ e $2$ .

$2 + 6$

Passaggio 4.2.5

Somma $2$ e $6$ .

$8$

Passaggio 5

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$3080 - 8$

Passaggio 6

Sottrai $8$ da $3080$ .

$3072$