Calcolo Esempi

$y = \frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x \sin (x)}{1 + \cos (x)})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x \sin (x)$ e $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

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Passaggio 3.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6

Moltiplica.

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Passaggio 3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.1.1.1

Espandi $(1 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.11.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (x \cos (x)) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.11.1.1.2.1

Moltiplica $x \cos (x)$ per $1$ .

$\frac{x \cos (x) + 1 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.2.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.2.3

Moltiplica $\cos (x) (x \cos (x))$ .

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Passaggio 3.11.1.1.2.3.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.2.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.1.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.2

Sposta $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.3

Scomponi $x$ da $x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.4

Scomponi $x$ da $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.5

Scomponi $x$ da $x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.6

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.1.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{x \cos (x) + \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.2

Riordina i termini.

$\frac{x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.3.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.11.3.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + x + \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{\cos (x) (x + \sin (x)) + 1 (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + \sin (x)$ .

$\frac{(x + \sin (x)) (\cos (x) + 1)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4

Elimina il fattore comune di $\cos (x) + 1$ e ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

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Passaggio 3.11.4.1

Riordina i termini.

$\frac{(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4.2

Scomponi $1 + \cos (x)$ da $(x + \sin (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.4.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.11.4.3.1

Scomponi $1 + \cos (x)$ da ${(1 + \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 3.11.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(1 + \cos (x)) (x + \sin (x))}{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Passaggio 3.11.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + \sin (x)}{1 + \cos (x)}$