Calcolo Esempi

$y = x \sqrt{3 x - 2}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x - 2}$ come ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 2$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.11

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.12

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.13

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.13.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.13.2

$\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.13.3

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.15

Moltiplica ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.16

Per scrivere ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17

${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19

Moltiplica ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.19.1

Sposta ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{3 x + {(3 x - 2)}^{1} \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.20

Semplifica ${(3 x - 2)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{3 x + (3 x - 2) \cdot 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.21

Sposta $2$ alla sinistra di $3 x - 2$ .

$\frac{3 x + 2 \cdot (3 x - 2)}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.22

Semplifica.

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Passaggio 4.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 2 (3 x) + 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.22.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.22.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.22.2.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 x + 6 x + 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.22.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{3 x + 6 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.22.2.2

Somma $3 x$ e $6 x$ .

$\frac{9 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{9 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 x - 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$