Calcolo Esempi

$f (θ) = (θ + 1) \cos (θ)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = θ + 1$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

$(θ + 1) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ + 1]$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$(θ + 1) (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ + 1]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $θ + 1$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1]$ .

$(θ + 1) (- \sin (θ)) + \cos (θ) (\frac{d}{d θ} [θ] + \frac{d}{d θ} [1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(θ + 1) (- \sin (θ)) + \cos (θ) (1 + \frac{d}{d θ} [1])$

Passaggio 3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$(θ + 1) (- \sin (θ)) + \cos (θ) (1 + 0)$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(θ + 1) (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$(θ + 1) (- \sin (θ)) + \cos (θ)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$θ (- \sin (θ)) + 1 (- \sin (θ)) + \cos (θ)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$θ (- \sin (θ)) - 1 \sin (θ) + \cos (θ)$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi $- 1 \sin (θ)$ come $- \sin (θ)$ .

$θ (- \sin (θ)) - \sin (θ) + \cos (θ)$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$- θ \sin (θ) - \sin (θ) + \cos (θ)$