Calcolo Esempi

$f (θ) = \frac{\sec (θ)}{1 + \sec (θ)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d θ} [\frac{f (θ)}{g (θ)}]$ è $\frac{g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)] - f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)]}{{g (θ)}^{2}}$ dove $f (θ) = \sec (θ)$ e $g (θ) = 1 + \sec (θ)$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] - \sec (θ) \frac{d}{d θ} [1 + \sec (θ)]}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 2

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ)) - \sec (θ) \frac{d}{d θ} [1 + \sec (θ)]}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - \sec (θ) (\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $θ$ , la derivata di $1$ rispetto a $θ$ è $0$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - \sec (θ) (0 + \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d θ} [\sec (θ)]$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\sec (θ)$ rispetto a $θ$ è $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 5

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 6

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(1 + \sec (θ)) \sec (θ) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \sec (θ) + \sec (θ) \sec (θ)) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \sec (θ) \tan (θ) + \sec (θ) \sec (θ) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.3.1.1

Moltiplica $\sec (θ)$ per $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \sec (θ) \sec (θ) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2

Moltiplica $\sec (θ) \sec (θ)$ .

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Passaggio 9.3.1.2.1

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \sec^{1} (θ) \sec (θ) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Eleva $\sec (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3.2

Combina i termini opposti in $\sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \tan (θ) - \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

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Passaggio 9.3.2.1

Sottrai $\sec^{2} (θ) \tan (θ)$ da $\sec^{2} (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ) + 0}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$

Passaggio 9.3.2.2

Somma $\sec (θ) \tan (θ)$ e $0$ .

$\frac{\sec (θ) \tan (θ)}{{(1 + \sec (θ))}^{2}}$