Calcolo Esempi

$f (x) = 6 {(4 x + 1)}^{4} {(3 x - 5)}^{2}$

Passaggio 1

Riscrivi ${(3 x - 5)}^{2}$ come $(3 x - 5) (3 x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} ((3 x - 5) (3 x - 5))]$

Passaggio 2

Espandi $(3 x - 5) (3 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5))]$

Passaggio 2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5))]$

Passaggio 2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)]$

Passaggio 3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)]$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)]$

Passaggio 3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)]$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)]$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5)]$

Passaggio 3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5)]$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $- 5$ per $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25)]$

Passaggio 3.2

Sottrai $15 x$ da $- 15 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 {(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} - 30 x + 25)]$

Passaggio 4

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 {(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} - 30 x + 25)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} - 30 x + 25)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4} (9 x^{2} - 30 x + 25)]$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(4 x + 1)}^{4}$ e $g (x) = 9 x^{2} - 30 x + 25$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 30 x + 25] + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} - 30 x + 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.4

Moltiplica $2$ per $9$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [25]) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.5

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 x$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.7

Moltiplica $- 30$ per $1$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30 + \frac{d}{d x} [25]) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.8

Poiché $25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30 + 0) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 6.9

Somma $18 x - 30$ e $0$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + (9 x^{2} - 30 x + 25) \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{4}])$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 4 x + 1$ .

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Passaggio 7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x + 1$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + (9 x^{2} - 30 x + 25) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]))$

Passaggio 7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + (9 x^{2} - 30 x + 25) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]))$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x + 1$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + (9 x^{2} - 30 x + 25) (4 {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]))$

Passaggio 8

Differenzia.

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Passaggio 8.1

Sposta $4$ alla sinistra di $9 x^{2} - 30 x + 25$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 4 \cdot (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [4 x + 1])$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 4 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 8.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 4 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 4 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 8.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 4 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3} (4 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 8.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 4 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3} (4 + 0))$

Passaggio 8.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.7.1

Somma $4$ e $0$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 4 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3} \cdot 4)$

Passaggio 8.7.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 16 (9 x^{2} - 30 x + 25) {(4 x + 1)}^{3})$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + (16 (9 x^{2}) + 16 (- 30 x) + 16 \cdot 25) {(4 x + 1)}^{3})$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 ({(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30)) + 6 ((16 (9 x^{2}) + 16 (- 30 x) + 16 \cdot 25) {(4 x + 1)}^{3})$

Passaggio 9.3

Moltiplica $9$ per $16$ .

$6 {(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 6 ((144 x^{2} + 16 (- 30 x) + 16 \cdot 25) {(4 x + 1)}^{3})$

Passaggio 9.4

Moltiplica $- 30$ per $16$ .

$6 {(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 6 ((144 x^{2} - 480 x + 16 \cdot 25) {(4 x + 1)}^{3})$

Passaggio 9.5

Moltiplica $16$ per $25$ .

$6 {(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 6 ((144 x^{2} - 480 x + 400) {(4 x + 1)}^{3})$

Passaggio 9.6

Scomponi $6 {(4 x + 1)}^{3}$ da $6 {(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30) + 6 (144 x^{2} - 480 x + 400) {(4 x + 1)}^{3}$ .

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Passaggio 9.6.1

Scomponi $6 {(4 x + 1)}^{3}$ da $6 {(4 x + 1)}^{4} (18 x - 30)$ .

$6 {(4 x + 1)}^{3} ((4 x + 1) (18 x - 30)) + 6 (144 x^{2} - 480 x + 400) {(4 x + 1)}^{3}$

Passaggio 9.6.2

Scomponi $6 {(4 x + 1)}^{3}$ da $6 (144 x^{2} - 480 x + 400) {(4 x + 1)}^{3}$ .

$6 {(4 x + 1)}^{3} ((4 x + 1) (18 x - 30)) + 6 {(4 x + 1)}^{3} (144 x^{2} - 480 x + 400)$

Passaggio 9.6.3

Scomponi $6 {(4 x + 1)}^{3}$ da $6 {(4 x + 1)}^{3} ((4 x + 1) (18 x - 30)) + 6 {(4 x + 1)}^{3} (144 x^{2} - 480 x + 400)$ .

$6 {(4 x + 1)}^{3} ((4 x + 1) (18 x - 30) + 144 x^{2} - 480 x + 400)$