Calcolo Esempi

$f (x) = \cos ({(x^{2} + 1)}^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$- \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) (2 x))$

Passaggio 3.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$- 2 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (2 \cdot (x^{2} + 1) x)$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) ((x^{2} + 1) x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{2} x + 1 x)$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{2} x^{1} + 1 x)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{2 + 1} + 1 x)$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{3} + 1 x)$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$- 4 \sin ({(x^{2} + 1)}^{2}) (x^{3} + x)$