Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{5} {(7 - x)}^{6}$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5} {(7 - x)}^{6}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5} {(7 - x)}^{6}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5} {(7 - x)}^{6}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = {(7 - x)}^{6}$ .

$6 (x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 - x)}^{6}] + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = 7 - x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $7 - x$ .

$6 (x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [7 - x]) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 (x^{5} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [7 - x]) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 - x$ .

$6 (x^{5} (6 {(7 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [7 - x]) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$6 (x^{5} (6 {(7 - x)}^{5} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 (x^{5} (6 {(7 - x)}^{5} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$6 (x^{5} (6 {(7 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [- x]) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x^{5} (6 {(7 - x)}^{5} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$6 (x^{5} (- 6 {(7 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [x]) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 (x^{5} (- 6 {(7 - x)}^{5} \cdot 1) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.7

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$6 (x^{5} (- 6 {(7 - x)}^{5}) + {(7 - x)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$6 (x^{5} (- 6 {(7 - x)}^{5}) + {(7 - x)}^{6} (5 x^{4}))$

Passaggio 4.9

Sposta $5$ alla sinistra di ${(7 - x)}^{6}$ .

$6 (x^{5} (- 6 {(7 - x)}^{5}) + 5 \cdot {(7 - x)}^{6} x^{4})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (x^{5} (- 6 {(7 - x)}^{5})) + 6 (5 {(7 - x)}^{6} x^{4})$

Passaggio 5.2

Moltiplica $- 6$ per $6$ .

$- 36 (x^{5} ({(7 - x)}^{5})) + 6 (5 {(7 - x)}^{6} x^{4})$

Passaggio 5.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$- 36 x^{5} {(7 - x)}^{5} + 30 ({(7 - x)}^{6} x^{4})$

Passaggio 5.4

Scomponi $6 x^{4} {(7 - x)}^{5}$ da $- 36 x^{5} {(7 - x)}^{5} + 30 {(7 - x)}^{6} x^{4}$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $6 x^{4} {(7 - x)}^{5}$ da $- 36 x^{5} {(7 - x)}^{5}$ .

$6 x^{4} {(7 - x)}^{5} (- 6 x) + 30 {(7 - x)}^{6} x^{4}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $6 x^{4} {(7 - x)}^{5}$ da $30 {(7 - x)}^{6} x^{4}$ .

$6 x^{4} {(7 - x)}^{5} (- 6 x) + 6 x^{4} {(7 - x)}^{5} (5 (7 - x))$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $6 x^{4} {(7 - x)}^{5}$ da $6 x^{4} {(7 - x)}^{5} (- 6 x) + 6 x^{4} {(7 - x)}^{5} (5 (7 - x))$ .

$6 x^{4} {(7 - x)}^{5} (- 6 x + 5 (7 - x))$