Calcolo Esempi

$f (x) = (2 x^{4} - 3) (x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x^{4} - 3$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(2 x^{4} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(2 x^{4} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(2 x^{4} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 x^{4} - 3) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$(2 x^{4} - 3) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $2 x^{4} - 3$ .

$2 \cdot (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 3]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{4} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.8

Moltiplica $4$ per $2$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3])$

Passaggio 2.9

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (8 x^{3} + 0)$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Somma $8 x^{3}$ e $0$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + (x^{2} + 1) (8 x^{3})$

Passaggio 2.10.2

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$2 (2 x^{4} - 3) x + 8 \cdot (x^{2} + 1) x^{3}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 (2 x^{4}) + 2 \cdot - 3) x + 8 (x^{2} + 1) x^{3}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{4}) x + 2 \cdot - 3 x + 8 (x^{2} + 1) x^{3}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{4}) x + 2 \cdot - 3 x + (8 x^{2} + 8 \cdot 1) x^{3}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 x^{4}) x + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{4} x + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{4}) + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 4} + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.4

Somma $1$ e $4$ .

$4 x^{5} + 2 \cdot - 3 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{3 + 2} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.6.3

Somma $3$ e $2$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{5} + 8 \cdot 1 x^{3}$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $8$ per $1$ .

$4 x^{5} - 6 x + 8 x^{5} + 8 x^{3}$

Passaggio 3.5.8

Somma $4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$12 x^{5} - 6 x + 8 x^{3}$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$12 x^{5} + 8 x^{3} - 6 x$