Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x} (3 x^{2} - 2 x^{3})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x^{2} - 2 x^{3}$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x^{3}] + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$e^{x} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{x} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$e^{x} (6 x - 2 (3 x^{2})) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.7

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} (6 x - 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + (3 x^{2} - 2 x^{3}) e^{x}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x} (6 x) + e^{x} (- 6 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Passaggio 4.3

Somma $e^{x} (- 6 x^{2})$ e $3 x^{2} e^{x}$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 6 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Passaggio 4.3.2

Somma $- 6 x^{2} e^{x}$ e $3 x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} (6 x) - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$

Passaggio 4.5

Riordina i fattori in $6 e^{x} x - 3 e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x^{3}$ .

$6 x e^{x} - 3 x^{2} e^{x} - 2 x^{3} e^{x}$