Calcolo Esempi

$e^{2 x} = \sin (x + 2 y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 2 y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2 y$ .

$\cos (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x + 2 y]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\cos (x + 2 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + \frac{d}{d x} [2 y])$

Passaggio 3.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + 2 \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + 2 y')$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 2 y) (1 + 2 y')$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$ .

$\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$

Passaggio 5.2

Dividi per $\cos (x + 2 y)$ ciascun termine in $\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $\cos (x + 2 y)$ ciascun termine in $\cos (x + 2 y) (1 + 2 y') = 2 e^{2 x}$ .

$\frac{\cos (x + 2 y) (1 + 2 y')}{\cos (x + 2 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x + 2 y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x + 2 y) (1 + 2 y')}{\cos (x + 2 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $1 + 2 y'$ per $1$ .

$1 + 2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}$

Passaggio 5.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} - 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} - 1$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} \cdot \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Combina.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 2 y) \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 2 y) \cdot 2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 2 y)} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.4

Moltiplica $e^{2 x}$ per $1$ .

$y' = \frac{e^{2 x}}{\cos (x + 2 y)} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.5

Frazioni separate.

$y' = \frac{e^{2 x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x + 2 y)} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.6

Converti da $\frac{1}{\cos (x + 2 y)}$ a $\sec (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{e^{2 x}}{1} \sec (x + 2 y) + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.7

Dividi $e^{2 x}$ per $1$ .

$y' = e^{2 x} \sec (x + 2 y) + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 5.4.3.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = e^{2 x} \sec (x + 2 y) - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \sec (x + 2 y) - \frac{1}{2}$