Calcolo Esempi

$3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Passaggio 1

Scrivi $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ come funzione.

$f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 4$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot ({(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} \cdot {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.12

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.13

Moltiplica $\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 {(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.14

Sposta ${(x - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.15

$3$ e $\frac{2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.16

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.17

Scomponi $3$ da $6$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.18

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.1.2.18.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 ({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.18.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 {(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.2.18.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (6)$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 5.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 5.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{\sqrt[3]{{(x - 4)}^{1}}}$

Passaggio 5.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$

Passaggio 5.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{\sqrt[3]{x - 4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x - 4} = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x - 4}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 4}$ come ${(x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Semplifica ${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x - 4)}^{1} = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x - 4 = 0^{3}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.3.3

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 6

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{2}{{(x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = 3 {(x - 4)}^{\frac{2}{3}} + 6$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = \frac{2}{{((3) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (3) = \frac{2}{{({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (3) = \frac{2}{{(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

Passaggio 7.2.1.5

Calcola l'esponente.

$f' (3) = \frac{2}{- 1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $2$ per $- 1$ .

$f' (3) = - 2$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 3$ la derivata è $- 2$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 4)$ .

Decrescente su $(- \infty, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = \frac{2}{{((5) - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Sottrai $4$ da $5$ .

$f' (5) = \frac{2}{1^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (5) = \frac{2}{1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $2$ per $1$ .

$f' (5) = 2$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $2$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(4, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 4)$

Passaggio 10