Calcolo Esempi

$\frac{(x^{2} - 3 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 1

Sottrai $3 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) d x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 2

Poiché $d$ è costante rispetto a $x$ , sposta $d$ fuori dall'integrale.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x - 1) x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 3

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$d \int \frac{(- 2 x^{2} + 2 x) x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$d \int \frac{- 2 x^{2} x + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$d \int \frac{- 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$d \int \frac{- 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 6

Somma $2$ e $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot x - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$d \int \frac{- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 11

Dividi $- 2 x^{3} + 2 x^{2} - 1 x$ per $x^{2} - 4 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

Passaggio 11.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$

Passaggio 11.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Passaggio 11.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x$

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

Passaggio 11.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

Passaggio 11.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$2 x$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Passaggio 11.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

Passaggio 11.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

					-	$2 x$	-	$6$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$1 x$	+	$0$
					+	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$6 x^{2}$	+	$7 x$	+	$0$
							-	$6 x^{2}$	+	$24 x$	-	$24$

Passaggio 11.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} + 24 x - 24$

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

Passaggio 11.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$6$

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$1 x$

$0$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$8 x$

$6 x^{2}$

$7 x$

$0$

$6 x^{2}$

$24 x$

$24$

$17 x$

$24$

Passaggio 11.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$d \int - 2 x - 6 + \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 12

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$d (\int - 2 x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Passaggio 13

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$d (- 2 \int x d x + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Passaggio 14

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 6 d x + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Passaggio 15

Applica la regola costante.

$d (- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Passaggio 16

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int \frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 4} d x)$

Passaggio 17

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Passaggio 17.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 17.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{- 17 x + 24}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Passaggio 17.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{- 17 x + 24}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 17.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 17.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 17.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 17.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(- 17 x + 24) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 17.1.5.2

Dividi $- 17 x + 24$ per $1$ .

$- 17 x + 24 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 17.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 17 x + 24 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 17.1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 17.1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.2.1

Scomponi $x - 2$ da $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 17.1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 17.1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 17 x + 24 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 17.1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 17 x + 24 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Passaggio 17.1.6.2.2.4

Dividi $B (x - 2)$ per $1$ .

$- 17 x + 24 = A + B (x - 2)$

Passaggio 17.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 17 x + 24 = A + B x + B \cdot - 2$

Passaggio 17.1.6.4

Sposta $- 2$ alla sinistra di $B$ .

$- 17 x + 24 = A + B x - 2 B$

Passaggio 17.1.7

Riordina $A$ e $B x$ .

$- 17 x + 24 = B x + A - 2 B$

Passaggio 17.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 17 = B$

Passaggio 17.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$24 = A - 2 B$

Passaggio 17.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

$- 17 = B$

$24 = A - 2 B$

Passaggio 17.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Riscrivi l'equazione come $B = - 17$ .

$B = - 17$

$24 = A - 2 B$

Passaggio 17.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 17$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $24 = A - 2 B$ con $- 17$ .

$24 = A - 2 \cdot - 17$

$B = - 17$

Passaggio 17.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 17$ .

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

$24 = A + 34$

$B = - 17$

Passaggio 17.3.3

Risolvi per $A$ in $24 = A + 34$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A + 34 = 24$ .

$A + 34 = 24$

$B = - 17$

Passaggio 17.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.3.2.1

Sottrai $34$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 24 - 34$

$B = - 17$

Passaggio 17.3.3.2.2

Sottrai $34$ da $24$ .

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

$A = - 10$

$B = - 17$

Passaggio 17.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = - 10 B = - 17$

Passaggio 17.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - 10, B = - 17$

Passaggio 17.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- 10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Passaggio 17.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{- 17}{x - 2}$

Passaggio 17.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 18

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C + \int - \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 19

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - \int \frac{10}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 20

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - (10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 21

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 22

Sia $u_{1} = x - 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1

Sia $u_{1} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 22.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 22.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 22.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 22.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 22.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 23

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 23.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 23.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 24

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int - \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 25

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - \int \frac{17}{x - 2} d x)$

Passaggio 26

Poiché $17$ è costante rispetto a $x$ , sposta $17$ fuori dall'integrale.

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - (17 \int \frac{1}{x - 2} d x))$

Passaggio 27

Moltiplica $17$ per $- 1$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{x - 2} d x)$

Passaggio 28

Sia $u_{2} = x - 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1

Sia $u_{2} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 28.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 28.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 28.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 28.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 28.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 28.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 29

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$d (- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 6 x + C - 10 (- {u_{1}}^{- 1} + C) - 17 (\ln (| u_{2} |) + C))$

Passaggio 30

Semplifica.

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{u_{1}} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 31

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 31.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| u_{2} |)) + C$

Passaggio 31.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$d (- x^{2} - 6 x + \frac{10}{x - 2} - 17 \ln (| x - 2 |)) + C$