Calcolo Esempi

$g (t) = \cos (\frac{1}{t}) e^{5 t^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = \cos (\frac{1}{t})$ e $g (t) = e^{5 t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [e^{5 t^{2}}] + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 5 t^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 t^{2}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 t^{2}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [5 t^{2}]) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t^{2}$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 \frac{d}{d t} [t^{2}])) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (5 (2 t))) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{1}{t})]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{1}{t}$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{1}{t}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Passaggio 4.2

La derivata di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{1}{t}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}])$

Passaggio 5

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\frac{1}{t}$ come $t^{- 1}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) \frac{d}{d t} [t^{- 1}])$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (- \sin (\frac{1}{t}) (- t^{- 2}))$

Passaggio 5.3

Moltiplica.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (1 \sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $\sin (\frac{1}{t})$ per $1$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) t^{- 2})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} (\sin (\frac{1}{t}) \frac{1}{t^{2}})$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

$\sin (\frac{1}{t})$ e $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + e^{5 t^{2}} \frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

Passaggio 6.2.2

$e^{5 t^{2}}$ e $\frac{\sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{t}) (e^{5 t^{2}} (10 t)) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$

Passaggio 6.4

Riordina i fattori in $10 e^{5 t^{2}} t \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$ .

$10 t e^{5 t^{2}} \cos (\frac{1}{t}) + \frac{e^{5 t^{2}} \sin (\frac{1}{t})}{t^{2}}$