Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.4

Semplifica.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.11.3

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - x^{2} (\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.11.4

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.14

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.15

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.16

Combina $2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ e $- \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ utilizzando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.16.1

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.16.2

Per scrivere $2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.16.3

$2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.16.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.17

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.18

Moltiplica ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.18.1

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.18.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.18.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.18.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.18.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.19

Semplifica $4 x {(x + 1)}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.20

Riscrivi $\frac{\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 1}$ come un prodotto.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Passaggio 2.1.1.21

Moltiplica $\frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{x + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}$

Passaggio 2.1.1.22

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 ((x + 1) {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 2.1.1.23

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.24

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.26

Somma $2$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x (x + 1) - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.27.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.27.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.27.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.27.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x \cdot 1 - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x - x^{2}}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2} + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27.3

Scomponi $x$ da $3 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.27.3.1

Scomponi $x$ da $3 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x) + 4 x}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27.3.2

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x) + x \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.1.27.3.3

Scomponi $x$ da $x (3 x) + x \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.1.2.2

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (3 x + 4)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (3 x + 4) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + \frac{d}{d x} (4)) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x (3 + 0) + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 3 + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 \cdot x + (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x)) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + (3 x + 4) \cdot 1) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.5.8.1

Moltiplica $3 x + 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (3 x + 3 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.5.8.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.10.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

$\frac{3}{2}$ e ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - x (3 x + 4) (\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.11.2

$\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.14

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((3 x + 4) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4) \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.15.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x + 4)}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x + 4) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x) + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4 - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.3

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 \cdot {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x + 4)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (3 x) - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5

Moltiplica $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.5.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5.2

$- 3$ e $\frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5.3

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot x - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5.4

$\frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x) x}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cdot x))}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{1 + 1})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ nel numeratore.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot 4}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.6.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 (2))}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} + \frac{- 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 \cdot 2)}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.7

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.9

Per scrivere $- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.10

$- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2} + \frac{- 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1

Scomponi $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ da $- 9 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1.1

Riordina l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1.1.1

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x \cdot 2}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1.1.2

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 x \cdot (2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1.1.3

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1.2

Scomponi $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ da $- 9 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) - 6 \cdot (2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1.3

Scomponi $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ da $- 6 \cdot 2 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.12.1.4

Scomponi $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ da $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x) + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 2 \cdot 2)$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 2 \cdot 2)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.12.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x + 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.13

Per scrivere $6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.14

$6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2}{2} + \frac{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.16

Per scrivere $4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.17

$4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 6 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 2 + 3 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} x (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.19

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20

Riscrivi $\frac{2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.20.1

Scomponi ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.20.1.1

Scomponi ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.1.2

Scomponi ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + 3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.1.3

Scomponi ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da $3 x {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 x - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.1.4

Scomponi ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}})) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.1.5

Scomponi ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ da ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot 6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x (- 3 x - 4))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot (4 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.3

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.4

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 (x + 1) + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 \cdot 1 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.6

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 2 \cdot (6 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}}) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.7

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.8

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.9

Semplifica.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x (x + 1) + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.10

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x \cdot x + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.11

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.20.11.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 (x \cdot x) + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.11.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x \cdot 1 + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.12

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x - 4))}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.13

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 x (- 3 x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.14

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) + 3 x \cdot - 4)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.15

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.20.16.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.1.20.16.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.16.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x + 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.16.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 x + 8 + 12 x^{2} + 12 x - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.17

Somma $8 x$ e $12 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (20 x + 8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 12 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.18

Sottrai $12 x$ da $20 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 12 x^{2} - 9 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.19

Sottrai $9 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (8 + 3 x^{2} + 8 x)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.1.20.20

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}}{2 {(x + 1)}^{3}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.2

Moltiplica $\frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2}$ per $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{2 (2 {(x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.2.16.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 8 x + 8)}{4 {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.4

Sposta ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.5

Moltiplica ${(x + 1)}^{3}$ per ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.2.5.1

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 ({(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(x + 1)}^{3})}$

Passaggio 2.1.2.16.2.5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.5.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.5.4

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.16.2.5.6.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{- 1 + 6}{2}}}$

Passaggio 2.1.2.16.2.5.6.2

Somma $- 1$ e $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x + 8}{4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x^{2} + 8 x + 8 = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.2.3.2

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = 8$ e $c = 8$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.3

Sottrai $96$ da $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.4

Riscrivi $- 32$ come $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (32)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.7

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 2.2.3.3.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.3

Sottrai $96$ da $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.4

Riscrivi $- 32$ come $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (32)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.7

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1.7.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 2.2.3.4.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.4.5

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.4.6

Scomponi $- 1$ da $2 i \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 2 i \sqrt{2})}{3}$

Passaggio 2.2.3.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (4) - (- 2 i \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (4 - 2 i \sqrt{2})}{3}$

Passaggio 2.2.3.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 96}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.3

Sottrai $96$ da $64$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.4

Riscrivi $- 32$ come $- 1 (32)$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (32)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}$ .

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{32}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.7

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1.7.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (4 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$

Passaggio 2.2.3.5.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 4 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.5.5

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.5.6

Scomponi $- 1$ da $- 2 i \sqrt{2}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (2 i \sqrt{2})}{3}$

Passaggio 2.2.3.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (4) - (2 i \sqrt{2})$ .

$x = \frac{- 1 (4 + 2 i \sqrt{2})}{3}$

Passaggio 2.2.3.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 2.2.3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{4 - 2 i \sqrt{2}}{3}, - \frac{4 + 2 i \sqrt{2}}{3}$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 1 \geq 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 1$

Passaggio 3.3

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2}}{\sqrt{x + 1}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{x + 1} = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{x + 1}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Semplifica ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Semplifica.

$x + 1 = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > - 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > - 1}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- 1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2} + 8 (0) + 8}{4 {((0) + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 8 (0) + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $0$ e $8$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4 {(0 + 1)}^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = \frac{8}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (0) = \frac{8}{4}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $8$ per $4$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 1, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6