Calcolo Esempi

$\ln (x^{2} + 36)$

Passaggio 1

Scrivi $\ln (x^{2} + 36)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{2} + 36)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 36$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)$

Passaggio 2.1.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)$

Passaggio 2.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 36$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 36} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 36} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36))$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 36} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (36))$

Passaggio 2.1.1.2.3

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 36} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 2.1.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 36} \cdot (2 x)$

Passaggio 2.1.1.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 36}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 36} \cdot x$

Passaggio 2.1.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 36}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 36}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + 36}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 36}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 36})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 36$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $x^{2} + 36$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 36$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} (36))}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.3.5

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - x (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2.9

$2$ e $\frac{- x^{2} + 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 36)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 36}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.10.2.2

Moltiplica $2$ per $36$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 72 = 0$

Passaggio 2.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sottrai $72$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 72$

Passaggio 2.2.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 72$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 72$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 72}{- 2}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 72}{- 2}$

Passaggio 2.2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 72}{- 2}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.3.1

Dividi $- 72$ per $- 2$ .

$x^{2} = 36$

Passaggio 2.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{36}$

Passaggio 2.2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.4.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 2.2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 6$

Passaggio 2.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 6$

Passaggio 2.2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 6$

Passaggio 2.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 6, - 6$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \ln (x^{2} + 36)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\ln (x^{2} + 36)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} + 36 > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $36$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} > - 36$

Passaggio 3.2.2

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 3.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f'' (- 8) = \frac{- 2 {(- 8)}^{2} + 72}{{({(- 8)}^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 2 \cdot 64 + 72}{{({(- 8)}^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $64$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 128 + 72}{{({(- 8)}^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $- 128$ e $72$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 56}{{({(- 8)}^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 56}{{(64 + 36)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $64$ e $36$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 56}{100^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $100$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 8) = \frac{- 56}{10000}$

Passaggio 5.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 56$ e $10000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $8$ da $- 56$ .

$f'' (- 8) = \frac{8 (- 7)}{10000}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $8$ da $10000$ .

$f'' (- 8) = \frac{8 \cdot - 7}{8 \cdot 1250}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 8) = \frac{8 \cdot - 7}{8 \cdot 1250}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 8) = \frac{- 7}{1250}$

Passaggio 5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 8) = - \frac{7}{1250}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{7}{1250}$ .

$- \frac{7}{1250}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 6)$ perché $f'' (- 8)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 6)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 6, 6)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 72}{{({(0)}^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 72}{{(0^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 72}{{(0^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $0$ e $72$ .

$f'' (0) = \frac{72}{{(0^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{72}{{(0 + 36)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $36$ .

$f'' (0) = \frac{72}{36^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $36$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0) = \frac{72}{1296}$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $72$ e $1296$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $72$ da $72$ .

$f'' (0) = \frac{72 (1)}{1296}$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $72$ da $1296$ .

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot 18}$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{72 \cdot 1}{72 \cdot 18}$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{1}{18}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{18}$ .

$\frac{1}{18}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 6, 6)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 6, 6)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(6, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f'' (8) = \frac{- 2 {(8)}^{2} + 72}{{({(8)}^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f'' (8) = \frac{- 2 \cdot 64 + 72}{{(8^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $64$ .

$f'' (8) = \frac{- 128 + 72}{{(8^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $- 128$ e $72$ .

$f'' (8) = \frac{- 56}{{(8^{2} + 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f'' (8) = \frac{- 56}{{(64 + 36)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $64$ e $36$ .

$f'' (8) = \frac{- 56}{100^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $100$ alla potenza di $2$ .

$f'' (8) = \frac{- 56}{10000}$

Passaggio 7.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 56$ e $10000$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Scomponi $8$ da $- 56$ .

$f'' (8) = \frac{8 (- 7)}{10000}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.2.1

Scomponi $8$ da $10000$ .

$f'' (8) = \frac{8 \cdot - 7}{8 \cdot 1250}$

Passaggio 7.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (8) = \frac{8 \cdot - 7}{8 \cdot 1250}$

Passaggio 7.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (8) = \frac{- 7}{1250}$

Passaggio 7.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (8) = - \frac{7}{1250}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $- \frac{7}{1250}$ .

$- \frac{7}{1250}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(6, \infty)$ perché $f'' (8)$ è negativo.

Funzione concava su $(6, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 6)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 6, 6)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(6, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 9