Calcolo Esempi

$\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ è indefinita.

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Passaggio 2

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2.1.3.2

Poiché la funzione $e^{x}$ tende a $\infty$ , anche la costante positiva $3$ moltiplicata per la funzione tende a $\infty$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.1

Considera il limite con il multiplo costante $3$ rimosso.

$2 \frac{\infty}{5 - lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{5 - \infty}$

Passaggio 2.2.1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$2 \frac{\infty}{5 + - \infty}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.2.1.3.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.2.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$2 \frac{\infty}{- \infty}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $\frac{\infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 - 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.2.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]}$

Passaggio 2.2.3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.5.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Passaggio 2.2.3.5.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{0 - 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2.3.6

Sottrai $3 e^{x}$ da $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{- 3 e^{x}}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{- 3}$

Passaggio 2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Calcola il limite di $\frac{1}{- 3}$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$2 (\frac{1}{- 3})$

Passaggio 2.3.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (- \frac{1}{3})$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $2 (- \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\frac{1}{3})$

Passaggio 2.3.2.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{2 e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{5 - 3 e^{x}}$

Passaggio 3.1.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Passaggio 3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - 3 e^{x}}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to - \infty} 5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Passaggio 3.3.2

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$2 \frac{0}{5 - lim_{x \to - \infty} 3 e^{x}}$

Passaggio 3.3.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 lim_{x \to - \infty} e^{x}}$

Passaggio 3.4

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$2 \frac{0}{5 - 3 \cdot 0}$

Passaggio 3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $5 - 3 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - 3 \cdot 0}$

Passaggio 3.5.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 \cdot 0$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)}$

Passaggio 3.5.1.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- 5) - (3 \cdot 0)$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 3 \cdot 0)}$

Passaggio 3.5.1.4

Riordina i termini.

$2 \frac{0}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Passaggio 3.5.1.5

Scomponi $5$ da $0$ .

$2 \frac{5 (0)}{- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)}$

Passaggio 3.5.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.6.1

Scomponi $5$ da $- 1 (- 5 + 0 \cdot 3)$ .

$2 \frac{5 (0)}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Passaggio 3.5.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{5 \cdot 0}{5 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}$

Passaggio 3.5.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$2 \frac{0}{- 1 (- 1 + 0)}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $- 1$ e $0$ .

$2 \frac{0}{- 1 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$2 (\frac{0}{1})$

Passaggio 3.5.4

Dividi $0$ per $1$ .

$2 \cdot 0$

Passaggio 3.5.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = - \frac{2}{3}, 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = \ln (\frac{5}{3})$

Asintoti orizzontali: $y = - \frac{2}{3}, 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7