Calcolo Esempi

$\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ è indefinita.

$x = - 1$

Passaggio 2

Calcola $lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - \frac{1}{e}}$

Passaggio 2.1.1.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per scrivere $e^{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e}{e} - \frac{1}{e}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{e^{x} e - 1}{e}}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e - 1}$

Passaggio 2.1.2.2

Combina i fattori.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Moltiplica $e^{x}$ per $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x} e^{1} - 1}$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} e^{x} \frac{e}{e^{x + 1} - 1}$

Passaggio 2.1.2.2.2

$e^{x}$ e $\frac{e}{e^{x + 1} - 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e}{e^{x + 1} - 1}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Moltiplica $e^{x}$ per $e$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x} e^{1}}{e^{x + 1} - 1}$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1}$

Passaggio 2.2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x + 1}}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché l'esponente $x + 1$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x + 1}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - 1}$

Passaggio 2.2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.2.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x + 1} - lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 2.2.1.3.2

Poiché l'esponente $x + 1$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{x + 1}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - lim_{x \to \infty} 1}$

Passaggio 2.2.1.3.3

Calcola il limite.

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Passaggio 2.2.1.3.3.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.1.3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\infty}{\infty - 1}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2

Infinito più o meno un numero è uguale a infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.3.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.3.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2.2.2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 2.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.6

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.7

Moltiplica $e^{x + 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1} - 1]}$

Passaggio 2.2.3.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x + 1} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

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Passaggio 2.2.3.9.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.9.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.9.6

Moltiplica $e^{x + 1}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Passaggio 2.2.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1} + 0}$

Passaggio 2.2.3.11

Somma $e^{x + 1}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $e^{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x + 1}}{e^{x + 1}}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} 1$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$1$

Passaggio 3

Calcola $lim_{x \to - \infty} \frac{e^{x}}{e^{x} - e^{- 1}}$ per trovare l'asintoto orizzontale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} e^{x}}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Passaggio 3.2

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - e^{- 1}}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - \infty} e^{x} - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Passaggio 3.4

Poiché l'esponente $x$ tende a $- \infty$ , la quantità $e^{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0 - lim_{x \to - \infty} e^{- 1}}$

Passaggio 3.5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Calcola il limite di $e^{- 1}$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$\frac{0}{0 - e^{- 1}}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{0 - \frac{1}{e}}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Sottrai $\frac{1}{e}$ da $0$ .

$\frac{0}{- \frac{1}{e}}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$0 (- e)$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $0 (- e)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e$

Passaggio 3.5.2.3.2

Moltiplica $0$ per $e$ .

$0$

Passaggio 4

Elenca gli asintoti orizzontali:

$y = 1, 0$

Passaggio 5

Non c'è nessun asintoto obliquo perché il grado del numeratore è minore di o uguale al grado del denominatore.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 1$

Asintoti orizzontali: $y = 1, 0$

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 7