Calcolo Esempi

$e^{x} - 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x} - 2 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 2$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $e^{x} - 2$ .

$e^{x} - 2$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $e^{x} - 2 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$e^{x} - 2 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{x} = 2$

Passaggio 2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (2)$

Passaggio 2.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (2)$

Passaggio 2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (2)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (2)$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $e^{x} - 2 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = \ln (2)$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\ln (2)$ a $x$ .

$e^{\ln (2)} - 2 \ln (2)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$2 - 2 \ln (2)$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica $- 2 \ln (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$2 - \ln (2^{2})$

Passaggio 4.1.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$2 - \ln (4)$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(\ln (2), 2 - \ln (4))$

Passaggio 5