Calcolo Esempi

$16 x^{4} + 125 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{4} + 125 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{4}] + \frac{d}{d x} [125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{4}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 16 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (125 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $16$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + \frac{d}{d x} (125 x)$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [125 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $125$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $125 x$ rispetto a $x$ è $125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $125$ per $1$ .

$f' (x) = 64 x^{3} + 125$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $64 x^{3} + 125$ .

$64 x^{3} + 125$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $64 x^{3} + 125 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$64 x^{3} + 125 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $125$ da entrambi i lati dell'equazione.

$64 x^{3} = - 125$

Passaggio 2.3

Somma $125$ a entrambi i lati dell'equazione.

$64 x^{3} + 125 = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi $64 x^{3}$ come ${(4 x)}^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 125 = 0$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi $125$ come $5^{3}$ .

${(4 x)}^{3} + 5^{3} = 0$

Passaggio 2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 4 x$ e $b = 5$ .

$(4 x + 5) ({(4 x)}^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Applica la regola del prodotto a $4 x$ .

$(4 x + 5) (4^{2} x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.4.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.4.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 4 x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.4.4

Moltiplica $5$ per $- 4$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 5^{2}) = 0$

Passaggio 2.4.4.5

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$

Passaggio 2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Passaggio 2.6

Imposta $4 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $4 x + 5$ uguale a $0$ .

$4 x + 5 = 0$

Passaggio 2.6.2

Risolvi $4 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 5$

Passaggio 2.6.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 5$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 2.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{4}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{4}$

Passaggio 2.7

Imposta $16 x^{2} - 20 x + 25$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Imposta $16 x^{2} - 20 x + 25$ uguale a $0$ .

$16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$

Passaggio 2.7.2

Risolvi $16 x^{2} - 20 x + 25 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.7.2.2

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = - 20$ e $c = 25$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 25)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.3

Sottrai $1600$ da $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.4

Riscrivi $- 1200$ come $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (1200)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.7

Riscrivi $1200$ come $20^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.3.1.7.1

Scomponi $400$ da $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.7.2

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.1.9

Sposta $20$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.3.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.7.2.3.3

Semplifica $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.7.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.3

Sottrai $1600$ da $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.4

Riscrivi $- 1200$ come $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (1200)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.7

Riscrivi $1200$ come $20^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.4.1.7.1

Scomponi $400$ da $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.7.2

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.1.9

Sposta $20$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.4.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.7.2.4.3

Semplifica $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.7.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.7.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.1

Eleva $- 20$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 16 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 64 \cdot 25}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $25$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 1600}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.3

Sottrai $1600$ da $400$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.4

Riscrivi $- 1200$ come $- 1 (1200)$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (1200)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{1200}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.7

Riscrivi $1200$ come $20^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.5.1.7.1

Scomponi $400$ da $1200$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{400 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.7.2

Riscrivi $400$ come $20^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm i \cdot \sqrt{20^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{20 \pm i \cdot (20 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.1.9

Sposta $20$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 2.7.2.5.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 2.7.2.5.3

Semplifica $\frac{20 \pm 20 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.7.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.7.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(4 x + 5) (16 x^{2} - 20 x + 25) = 0$ vera.

$x = - \frac{5}{4}, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{8}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $16 x^{4} + 125 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{5}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $x$ per $- \frac{5}{4}$ .

$16 {(- \frac{5}{4})}^{4} + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} {(\frac{5}{4})}^{4}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{4}$ .

$16 ({(- 1)}^{4} \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$16 (1 \frac{5^{4}}{4^{4}}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Moltiplica $\frac{5^{4}}{4^{4}}$ per $1$ .

$16 \frac{5^{4}}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Eleva $5$ alla potenza di $4$ .

$16 \frac{625}{4^{4}} + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$16 (\frac{625}{256}) + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.6

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.6.1

Scomponi $16$ da $256$ .

$16 \frac{625}{16 (16)} + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$16 \frac{625}{16 \cdot 16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{625}{16} + 125 (- \frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.7

Moltiplica $125 (- \frac{5}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $125$ .

$\frac{625}{16} - 125 (\frac{5}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.7.2

$- 125$ e $\frac{5}{4}$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 125 \cdot 5}{4}$

Passaggio 4.1.2.1.7.3

Moltiplica $- 125$ per $5$ .

$\frac{625}{16} + \frac{- 625}{4}$

Passaggio 4.1.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4}$

Passaggio 4.1.2.2

Per scrivere $- \frac{625}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{625}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{625}{16} - \frac{625 \cdot 4}{16}$

Passaggio 4.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{625 - 625 \cdot 4}{16}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $- 625$ per $4$ .

$\frac{625 - 2500}{16}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Sottrai $2500$ da $625$ .

$\frac{- 1875}{16}$

Passaggio 4.1.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1875}{16}$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{5}{4}, - \frac{1875}{16})$

Passaggio 5