Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{e^{x}}$ $x = 1$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{e^{x}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{e^{x}}]$

Passaggio 1.2

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $x^{e^{x}}$ come $e^{\ln (x^{e^{x}})}$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{e^{x}})}]$

Passaggio 1.2.2

Espandi $\ln (x^{e^{x}})$ spostando $e^{x}$ fuori dal logaritmo.

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{x} \ln (x)}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = e^{x} \ln (x)$ .

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Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 (e^{u} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x} \ln (x)$ .

$2 (e^{e^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 1.5

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 1.6

$e^{x}$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 1.7

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{x} \ln (x)} (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Passaggio 1.8

Semplifica.

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Passaggio 1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{e^{x} \ln (x)} \frac{e^{x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 1.8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.8.2.1

$\frac{e^{x}}{x}$ e $2$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x} e^{e^{x} \ln (x)} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 1.8.2.2

$\frac{e^{x} \cdot 2}{x}$ e $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} \cdot 2 e^{e^{x} \ln (x)}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 1.8.2.3

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{e^{x} \ln (x)}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.8.2.3.1

Sposta $e^{e^{x} \ln (x)}$ .

$\frac{e^{e^{x} \ln (x)} e^{x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 1.8.2.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{e^{e^{x} \ln (x) + x} \cdot 2}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 1.8.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{e^{x} \ln (x) + x}$ .

$\frac{2 \cdot e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{e^{x} \ln (x)} (\ln (x) e^{x})$

Passaggio 1.8.2.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 1.8.2.6

Per scrivere $2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x} + \frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 1.8.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 e^{e^{x} \ln (x) + x} + 2 e^{x + e^{x} \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Passaggio 1.8.3

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{x + e^{x} \ln (x)} x \ln (x) + 2 e^{e^{x} \ln (x) + x}}{x}$

Passaggio 2

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Passaggio 3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (1) = \frac{2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}}{1}$

Passaggio 3.2

Dividi $2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$ per $1$ .

$f' (1) = 2 e^{(1) + e^{1} \ln (1)} (1) \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Semplifica.

$f' (1) = 2 e^{1 + e \ln (1)} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + e \cdot 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $e$ per $0$ .

$f' (1) = 2 e^{1 + 0} \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.2

Somma $1$ e $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.3

Semplifica.

$f' (1) = 2 e \cdot (1 \ln (1)) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (1) = 2 e \ln (1) + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.5

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f' (1) = 2 e \cdot 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.6

Moltiplica $2 e \cdot 0$ .

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$f' (1) = 0 e + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.6.2

Moltiplica $0$ per $e$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e^{1} \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.7.1

Semplifica.

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \ln (1) + 1}$

Passaggio 4.7.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{e \cdot 0 + 1}$

Passaggio 4.7.3

Moltiplica $e$ per $0$ .

$f' (1) = 0 + 2 e^{0 + 1}$

Passaggio 4.8

Somma $0$ e $1$ .

$f' (1) = 0 + 2 e$

Passaggio 4.9

Semplifica.

$f' (1) = 0 + 2 e$

Passaggio 5

Somma $0$ e $2 e$ .

$f' (1) = 2 e$