Calcolo Esempi

$p = \frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\sin (q) + \cos (q)}{\sin (q)})$

Passaggio 2

La derivata di $p$ rispetto a $q$ è $p'$ .

$p'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ è $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ dove $f (q) = \sin (q) + \cos (q)$ e $g (q) = \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) \frac{d}{d q} [\sin (q) + \cos (q)] - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (q) + \cos (q)$ rispetto a $q$ è $\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]$ .

$\frac{\sin (q) (\frac{d}{d q} [\sin (q)] + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (q)$ rispetto a $q$ è $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) + \frac{d}{d q} [\cos (q)]) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.4

La derivata di $\cos (q)$ rispetto a $q$ è $- \sin (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \frac{d}{d q} [\sin (q)]}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.5

La derivata di $\sin (q)$ rispetto a $q$ è $\cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (\cos (q) - \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - (\sin (q) + \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) + (- \sin (q) - \cos (q)) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.4.1

Combina i termini opposti in $\sin (q) \cos (q) + \sin (q) (- \sin (q)) - \sin (q) \cos (q) - \cos (q) \cos (q)$ .

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Passaggio 3.6.4.1.1

Sottrai $\sin (q) \cos (q)$ da $\sin (q) \cos (q)$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) + 0 - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.1.2

Somma $\sin (q) (- \sin (q))$ e $0$ .

$\frac{\sin (q) (- \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.6.4.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \sin (q) \sin (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.2

Moltiplica $- \sin (q) \sin (q)$ .

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Passaggio 3.6.4.2.2.1

Eleva $\sin (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.2.2

Eleva $\sin (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q)) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- {\sin (q)}^{1 + 1} - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos (q) \cos (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.3

Moltiplica $- \cos (q) \cos (q)$ .

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Passaggio 3.6.4.2.3.1

Eleva $\cos (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos (q))}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.3.2

Eleva $\cos (q)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sin^{2} (q) - {\cos (q)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (q) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.3

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - \cos^{2} (q)}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.4

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.5

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (q)) - (\cos^{2} (q))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.6

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.4.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.6.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sin^{2} (q)}$

Passaggio 3.6.5.2

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (q)}$ a $\csc^{2} (q)$ .

$- \csc^{2} (q)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$p' = - \csc^{2} (q)$

Passaggio 5

Sostituisci $p'$ con $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \csc^{2} (q)$