Calcolo Esempi

$v = V e^{- (\frac{t}{T})}$

Passaggio 1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{t}{T}$ .

$v' = V e^{- \frac{t}{T}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} (V e^{- \frac{t}{T}})$

Passaggio 3

La derivata di $v'$ rispetto a $t$ è $v''$ .

$v''$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $V$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $V e^{- \frac{t}{T}}$ rispetto a $t$ è $V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$ .

$V \frac{d}{d t} [e^{- \frac{t}{T}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - \frac{t}{T}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{t}{T}$ .

$V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$V (e^{u} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{t}{T}$ .

$V (e^{- \frac{t}{T}} \frac{d}{d t} [- \frac{t}{T}])$

Passaggio 4.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- \frac{1}{T}$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \frac{t}{T}$ rispetto a $t$ è $- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t]$ .

$V e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{1}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

$V$ e $\frac{1}{T}$ .

$e^{- \frac{t}{T}} (- \frac{V}{T} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 4.3.2.2

$e^{- \frac{t}{T}}$ e $\frac{V}{T}$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T} \cdot 1$

Passaggio 4.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{e^{- \frac{t}{T}} V}{T}$

Passaggio 4.3.4.2

Riordina i fattori in $e^{- \frac{t}{T}} V$ .

$- \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$v'' = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$

Passaggio 6

Sostituisci $v'$ con $\frac{d v}{d t}$ .

$\frac{d v}{d t} = - \frac{V e^{- \frac{t}{T}}}{T}$