Calcolo Esempi

$y = \tan (\sqrt{1 - x})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x}$ come ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \tan (y)$ e $g (y) = {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d y} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ e $g (y) = 1 - x$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x])$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [1 - x]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 4.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [- x])$

Passaggio 4.10

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 4.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d y} [x])$

Passaggio 4.12

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- x')$

Passaggio 4.13

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x'$ .

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$

Passaggio 6.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 1$ .

$\frac{- \frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.2.2.1

Dividi $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riordina i fattori in $\frac{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni lato per $2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.4.1.1

Semplifica $\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Passaggio 6.4.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}} {(1 - x)}^{\frac{1}{2}} = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.4.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - (2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.5

Dividi per $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ ciascun termine in $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e semplifica.

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Passaggio 6.5.1

Dividi per $\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})$ ciascun termine in $x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}}) = - 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' \sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})} = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.5.2.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 6.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.5.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x' = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 7

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}{\sec^{2} ({(1 - x)}^{\frac{1}{2}})}$