Calcolo Esempi

$y = 3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $t$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(2 t^{2} - 7)}^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(2 t^{2} - 7)}^{3}] + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{3}$ e $g (t) = 2 t^{2} - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 t^{2} - 7$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 (t (3 u^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t^{2} - 7$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 7]) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t^{2} - 7$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t^{2}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t + \frac{d}{d t} [- 7])) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t + 0)) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Somma $4 t$ e $0$ .

$3 (t (3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (4 t)) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.4.6.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$3 (t (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2} t) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$3 (t^{1} t (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.6

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$3 (t^{1} t^{1} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (t^{1 + 1} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.8

Somma $1$ e $1$ .

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [t])$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3} \cdot 1)$

Passaggio 3.10

Moltiplica ${(2 t^{2} - 7)}^{3}$ per $1$ .

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2}) + {(2 t^{2} - 7)}^{3})$

Passaggio 3.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (t^{2} (12 {(2 t^{2} - 7)}^{2})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Passaggio 3.11.2

Moltiplica $12$ per $3$ .

$36 (t^{2} ({(2 t^{2} - 7)}^{2})) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Passaggio 3.11.3

Scomponi $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ da $36 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{2} + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.3.1

Scomponi $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ da $36 t^{2} {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$

Passaggio 3.11.3.2

Scomponi $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ da $3 {(2 t^{2} - 7)}^{3}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.3.3

Scomponi $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2}$ da $3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2}) + 3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (2 t^{2} - 7)$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (12 t^{2} + 2 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.4

Somma $12 t^{2}$ e $2 t^{2}$ .

$3 {(2 t^{2} - 7)}^{2} (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.5

Riscrivi ${(2 t^{2} - 7)}^{2}$ come $(2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)$ .

$3 ((2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.6

Espandi $(2 t^{2} - 7) (2 t^{2} - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 t^{2} (2 t^{2} - 7) - 7 (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2} - 7)) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.7.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 (2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.1.2

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.7.1.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$3 (2 \cdot 2 (t^{2} t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (2 \cdot 2 t^{2 + 2} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.1.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$3 (2 \cdot 2 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 (4 t^{4} + 2 t^{2} \cdot - 7 - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.1.4

Moltiplica $- 7$ per $2$ .

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 7 (2 t^{2}) - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.1.5

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 14 t^{2} - 7 \cdot - 7) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.1.6

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$3 (4 t^{4} - 14 t^{2} - 14 t^{2} + 49) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.7.2

Sottrai $14 t^{2}$ da $- 14 t^{2}$ .

$3 (4 t^{4} - 28 t^{2} + 49) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.8

Applica la proprietà distributiva.

$(3 (4 t^{4}) + 3 (- 28 t^{2}) + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.9.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$(12 t^{4} + 3 (- 28 t^{2}) + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.9.2

Moltiplica $- 28$ per $3$ .

$(12 t^{4} - 84 t^{2} + 3 \cdot 49) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.9.3

Moltiplica $3$ per $49$ .

$(12 t^{4} - 84 t^{2} + 147) (14 t^{2} - 7)$

Passaggio 3.11.10

Espandi $(12 t^{4} - 84 t^{2} + 147) (14 t^{2} - 7)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$12 t^{4} (14 t^{2}) + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.11.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$12 \cdot 14 t^{4} t^{2} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.2

Moltiplica $t^{4}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.11.2.1

Sposta $t^{2}$ .

$12 \cdot 14 (t^{2} t^{4}) + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 \cdot 14 t^{2 + 4} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.2.3

Somma $2$ e $4$ .

$12 \cdot 14 t^{6} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.3

Moltiplica $12$ per $14$ .

$168 t^{6} + 12 t^{4} \cdot - 7 - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.4

Moltiplica $- 7$ per $12$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 t^{2} (14 t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{2} t^{2} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.6

Moltiplica $t^{2}$ per $t^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.11.6.1

Sposta $t^{2}$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 (t^{2} t^{2}) - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.6.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{2 + 2} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.6.3

Somma $2$ e $2$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 84 \cdot 14 t^{4} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.7

Moltiplica $- 84$ per $14$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} - 84 t^{2} \cdot - 7 + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.8

Moltiplica $- 7$ per $- 84$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 147 (14 t^{2}) + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.9

Moltiplica $14$ per $147$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} + 147 \cdot - 7$

Passaggio 3.11.11.10

Moltiplica $147$ per $- 7$ .

$168 t^{6} - 84 t^{4} - 1176 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} - 1029$

Passaggio 3.11.12

Sottrai $1176 t^{4}$ da $- 84 t^{4}$ .

$168 t^{6} - 1260 t^{4} + 588 t^{2} + 2058 t^{2} - 1029$

Passaggio 3.11.13

Somma $588 t^{2}$ e $2058 t^{2}$ .

$168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = 168 t^{6} - 1260 t^{4} + 2646 t^{2} - 1029$