Calcolo Esempi

$y = e^{p} (p + p \sqrt{p})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{p}$ come $p^{\frac{1}{2}}$ .

$y = e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d p} (y) = \frac{d}{d p} (e^{p} (p + p \cdot p^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $p$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $p$ per $p^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $p$ per $p^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1.1.1

Eleva $p$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1} p^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{1 + \frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})]$

Passaggio 4.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{2 + 1}{2}})]$

Passaggio 4.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{d}{d p} [e^{p} (p + p^{\frac{3}{2}})]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d p} [f (p) g (p)]$ è $f (p) \frac{d}{d p} [g (p)] + g (p) \frac{d}{d p} [f (p)]$ dove $f (p) = e^{p}$ e $g (p) = p + p^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{p} \frac{d}{d p} [p + p^{\frac{3}{2}}] + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.3

Differenzia.

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Passaggio 4.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $p + p^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $p$ è $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]$ .

$e^{p} (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ è $n p^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{p} (1 + \frac{d}{d p} [p^{\frac{3}{2}}]) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ è $n p^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{3 - 2}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$e^{p} (1 + \frac{3}{2} p^{\frac{1}{2}}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.8

$\frac{3}{2}$ e $p^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d p} [e^{p}]$

Passaggio 4.9

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ è $a^{p} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{p} (1 + \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}) + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

Passaggio 4.10

Semplifica.

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Passaggio 4.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + (p + p^{\frac{3}{2}}) e^{p}$

Passaggio 4.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{p} \cdot 1 + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Passaggio 4.10.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.10.3.1

Moltiplica $e^{p}$ per $1$ .

$e^{p} + e^{p} \frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Passaggio 4.10.3.2

$e^{p}$ e $\frac{3 p^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2} + p e^{p} + p^{\frac{3}{2}} e^{p}$

Passaggio 4.10.4

Riordina i termini.

$e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d p}$ .

$\frac{d y}{d p} = e^{p} p + e^{p} p^{\frac{3}{2}} + e^{p} + \frac{e^{p} (3 p^{\frac{1}{2}})}{2}$