Calcolo Esempi

$z = x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}})$

Passaggio 2

La derivata di $z$ rispetto a $x$ è $z'$ .

$z'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + \frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x - 4 x^{2}}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x - 4 x^{2}]}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{(1 - x - 4 x^{2}) (2 x) - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $1 - x - 4 x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 \cdot 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (0 - 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.11

Sottrai $1$ da $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 4 (2 x))}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (1 - x - 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x) + 2 (- 4 x^{2})) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} (- 1 - 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x + 2 (- x) x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x \cdot x + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{1 + 1} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} + 2 (- 4 x^{2}) x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.7

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.10

Somma $1$ e $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} - x^{2} \cdot - 1 - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + 1 x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.12

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} - x^{2} (- 8 x)}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.13

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{2} x}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.14

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 (x^{1} x^{2})}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{1 + 2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.16

Somma $1$ e $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 2 x^{2} - 8 x^{3} + x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.17

Somma $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - 8 x^{3} - x^{2} + 8 x^{3}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.18

Somma $- 8 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2} + 0}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.19

Somma $2 x - x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.20

Per scrivere $3 x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}} + \frac{2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.4.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x - x^{2}}{{(1 - x - 4 x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z' = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{- x^{2} + 3 x^{2} {(1 - x - 4 x^{2})}^{2} + 2 x}{{(- 4 x^{2} - x + 1)}^{2}}$