Calcolo Esempi

$f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $e^{- \frac{x}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.8

$e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.9

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $e^{- \frac{x}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x}{2}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- \frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x}{2})$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) + e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2.3.5

$e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}) - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}) - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{2}) \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{1}{2} \cdot e^{- \frac{x}{2}} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2.5

$e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} - \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2.6

Sottrai $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ da $- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - 2 \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2.7

$- 2$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- 2 e^{- \frac{x}{2}}}{2}$

Passaggio 2.4.2.8

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.8.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{- \frac{x}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2}$

Passaggio 2.4.2.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 (1)}$

Passaggio 2.4.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{2 (- e^{- \frac{x}{2}})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} + \frac{- e^{- \frac{x}{2}}}{1}$

Passaggio 2.4.2.8.2.4

Dividi $- e^{- \frac{x}{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{4} - e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- \frac{x}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x}{2}}] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- \frac{x}{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- \frac{x}{2}$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

$e^{- \frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2.2

$x$ e $\frac{e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} \cdot 1 + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.6

Moltiplica $e^{- \frac{x}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $e^{- \frac{x}{2}}$ da $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2} + e^{- \frac{x}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{- \frac{x}{2}}$ da $- \frac{x e^{- \frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica per $1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $e^{- \frac{x}{2}}$ da $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2}) + e^{- \frac{x}{2}} \cdot 1$ .

$e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{- \frac{x}{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{- \frac{x}{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{- \frac{x}{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- \frac{x}{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- \frac{x}{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $- \frac{x}{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $- \frac{x}{2} + 1$ uguale a $0$ .

$- \frac{x}{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $- \frac{x}{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{x}{2} = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{x}{2}) = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- x}{2} = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - x = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = - 2 \cdot - 1$

Passaggio 5.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{- \frac{x}{2}} (- \frac{x}{2} + 1) = 0$ vera.

$x = 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(2) e^{- \frac{2}{2}}}{4} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta $e^{- \frac{2}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{4 e^{\frac{2}{2}}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{4 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 e^{1}$ .

$\frac{2 (1)}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 (2 e^{1})} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 e^{1}} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.4

Semplifica.

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 e} - e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 9.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 e} - e^{- 1}$

Passaggio 9.1.7

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $- \frac{1}{e}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 e$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{e \cdot 2}$

Passaggio 9.3.2

Riordina i fattori di $e \cdot 2$ .

$\frac{1}{2 e} - \frac{2}{2 e}$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 2}{2 e}$

Passaggio 9.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{- 1}{2 e}$

Passaggio 9.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 e}$

Passaggio 10

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = (2) \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (2) = 2 \cdot e^{- \frac{2}{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (2) = 2 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 11.2.4

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (2) = \frac{2}{e}$

Passaggio 11.2.5

La risposta finale è $\frac{2}{e}$ .

$y = \frac{2}{e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x e^{- \frac{x}{2}}$ .

$(2, \frac{2}{e})$ è un massimo locale

Passaggio 13