Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x \sqrt{x - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - x^{2}}$ come ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - x^{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 (x (\frac{1}{2} {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 1.15

Moltiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x)) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.16.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.2.1

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.16.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.16.3

Riordina i termini.

$(1 - 2 x) \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.16.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.4.1

Moltiplica $1 - 2 x$ per $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.16.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $1 - 2 x$ .

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.16.5

Per scrivere $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.6

$3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.8.1

Scomponi $3$ da $3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.8.1.1

Scomponi $3$ da $3 (1 - 2 x) x$ .

$\frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.1.2

Scomponi $3$ da $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.1.3

Scomponi $3$ da $3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ .

$\frac{3 ((1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{3 (x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.8.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{3 (x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.6

Moltiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.8.6.1

Sposta ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.6.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{1})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.7

Semplifica $2 {(x - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.10

Somma $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.11

Sottrai $2 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 4 x^{2} + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.12

Scomponi $x$ da $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.16.8.12.1

Scomponi $x$ da $- 4 x^{2}$ .

$\frac{3 (x (- 4 x) + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.12.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{3 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.8.12.3

Scomponi $x$ da $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$\frac{3 (x (- 4 x + 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{3 x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.9

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$\frac{3 x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.10

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$\frac{3 x (- (4 x) - 1 (- 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.11

Scomponi $- 1$ da $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$\frac{3 x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.12

Riscrivi $- (4 x - 3)$ come $- 1 (4 x - 3)$ .

$\frac{3 x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.16.14

Riordina i fattori in $- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x (4 x - 3)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (4 x - 3)$ e $g (x) = {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x (4 x - 3)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} (4 x - 3) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x (4 + 0) + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (x \cdot 4 + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 \cdot x + (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + (4 x - 3) \cdot 1) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.8.1

Moltiplica $4 x - 3$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (4 x + 4 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.6.8.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) \frac{d}{d x} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.12.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.12.3

Sposta ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - x (4 x - 3) (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.12.4

$\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x - 3) \frac{d}{d x} (x - x^{2})}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.13

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.15

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - (2 x)))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.17

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))}{x - x^{2}}$

Passaggio 2.17.2

Moltiplica $\frac{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)}{x - x^{2}}$ per $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x))) \cdot 3}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

Passaggio 2.17.3

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \cdot ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{(x - x^{2}) \cdot 2}$

Passaggio 2.17.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 \cdot (x - x^{2})}$

Passaggio 2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 (x - x^{2})}$

Passaggio 2.18.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.1.1

Scomponi $3$ da $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.1.2

Scomponi $3$ da $3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3)) + 3 (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x - 3) (1 - 2 x))$ .

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x - 3) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (8 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.4

Sposta $- 3$ alla sinistra di ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot ((4 x - 3) (1 - 2 x)))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.6.2

Scomponi $2$ da $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (4 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.6.3

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.6.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 (2 x)) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.6.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.7

$2$ e $\frac{- x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{2 (- x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.8

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.9

$\frac{- 2 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x \cdot x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.18.3.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.13

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.14

Moltiplica $- \frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.14.1

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.14.2

$3$ e $\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (\frac{- 2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.16

Espandi $(- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) (1 - 2 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.16.3

Applica la proprietà distributiva.

Passaggio 2.18.3.17

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.17.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.2

Moltiplica $- \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.17.1.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.2.2

$2$ e $\frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (2 x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.2.4

$\frac{4 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{2} x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (x \cdot x^{2})}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{1 + 2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.2.7

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.3

Moltiplica $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.17.1.5.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.6

Moltiplica $- \frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.17.1.6.1

$x$ e $\frac{3 x}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x (3 x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.6.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 (x \cdot x)}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.6.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{1 + 1}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.1.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.17.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.19

Sottrai $3 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{4 x^{3} - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.20

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3} - 5 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.20.1

Scomponi $x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) - 5 x^{2}}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.20.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 5 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.20.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 5$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.21

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.22

Per scrivere $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.23

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.23.1

Moltiplica $\frac{x^{2} (4 x - 5)}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{{(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.23.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.25.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2 + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.25.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (4 x - 5) \cdot 2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.1.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.1.3

Scomponi $x$ da $x ((x (4 x - 5)) \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x - 5)) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((x (4 x) + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x + x \cdot - 5) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.4

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x \cdot x - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.25.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 (x \cdot x) - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 \cdot x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((4 x^{2} - 5 x) \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x^{2} \cdot 2 - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.7

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 5 x \cdot 2 + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.8

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.9

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.25.9.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ e la cui somma è $b = - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.25.9.1.1

Scomponi $- 10$ da $- 10 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 10 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.9.1.2

Riscrivi $- 10$ come $- 4$ più $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.9.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.25.9.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.9.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.25.9.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x ((2 x - 1) (4 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.26

Per scrivere $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.27

$8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ e $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.29

Per scrivere $- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Passaggio 2.18.3.30

$- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32

Riscrivi $\frac{8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.1

Moltiplica $8 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.1.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.1.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.1.3

Moltiplica ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.1.3.1

Sposta ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.1.3.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.1.4

Semplifica $16 {(- x^{2} + x)}^{1} x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{16 (- x^{2} + x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{(16 (- x^{2}) + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{(- 16 x^{2} + 16 x) x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{2} x + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 (x \cdot x^{2}) + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.18.3.32.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{1 + 2} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x \cdot x + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 (x \cdot x) + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + x (2 x - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (x (2 x) + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x + x \cdot - 1) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.9

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x \cdot x - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.10.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.10.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 (x \cdot x) - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.10.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - 1 \cdot x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.10.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + (2 x^{2} - x) (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.11

Espandi $(2 x^{2} - x) (4 x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x - 3) - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x - 3) - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.12.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.12.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.12.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.18.3.32.12.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 3 - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - x (4 x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x \cdot x) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.12.1.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 (x \cdot x)) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 1 \cdot (4 x^{2}) - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.7

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} - x \cdot - 3 - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.1.8

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.12.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.13

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 3 \cdot (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.14

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.15

Moltiplica $- 6 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.15.1

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.15.2

Moltiplica ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.15.2.1

Sposta ${(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 ({(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.15.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.15.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 {(- x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.15.2.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.15.3

Semplifica $- 6 {(- x^{2} + x)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2} + x)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.16

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x - 6 (- x^{2}) - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.17

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 16 x^{3} + 16 x^{2} + 8 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.18

Somma $- 16 x^{3}$ e $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 16 x^{2} - 10 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.19

Sottrai $10 x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 6 x^{2} - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.20

Somma $6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} + 3 x - 6 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.21

Sottrai $6 x$ da $3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.22

Scomponi $x$ da $- 8 x^{3} + 12 x^{2} - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.3.32.22.1

Scomponi $x$ da $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + 12 x^{2} - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.22.2

Scomponi $x$ da $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) - 3 x}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.22.3

Scomponi $x$ da $- 3 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2}) + x (12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.22.4

Scomponi $x$ da $x (- 8 x^{2}) + x (12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.3.32.22.5

Scomponi $x$ da $x (- 8 x^{2} + 12 x) + x \cdot - 3$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.4.1

$3$ e $\frac{x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 (x (- 8 x^{2} + 12 x - 3))}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 (- x^{2})}$

Passaggio 2.18.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$

Passaggio 2.18.4.3

Riscrivi $\frac{\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x - 2 x^{2}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x - 2 x^{2}})$

Passaggio 2.18.4.4

Moltiplica $\frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{2 x - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 2 x^{2})}$

Passaggio 2.18.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.5.1

Scomponi $2 x$ da $2 x - 2 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.5.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) - 2 x^{2})}$

Passaggio 2.18.5.1.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1) + 2 x (- x))}$

Passaggio 2.18.5.1.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (1) + 2 x (- x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (2 x (1 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{2 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 x (1 - x))}$

Passaggio 2.18.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Passaggio 2.18.6

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{3 x (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} x (1 - x)}$

Passaggio 2.18.7

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{3 (- 8 x^{2} + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.8

Scomponi $- 1$ da $- 8 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2}) + 12 x - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.9

Scomponi $- 1$ da $12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2}) - (- 12 x) - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.10

Scomponi $- 1$ da $- (8 x^{2}) - (- 12 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x) - 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.11

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x) - 1 \cdot 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.12

Scomponi $- 1$ da $- (8 x^{2} - 12 x) - 1 (3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- (8 x^{2} - 12 x + 3))}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.13

Riscrivi $- (8 x^{2} - 12 x + 3)$ come $- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3)$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (- 1 (8 x^{2} - 12 x + 3))}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.18.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)})$

Passaggio 2.18.16

Moltiplica $\frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (8 x^{2} - 12 x + 3)}{4 {(- x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - x^{2}}$ come ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.2

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - x^{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2} \cdot {(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{{(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta ${(x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - \frac{d}{d x} x^{2}) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - (2 x)) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 4.1.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.15

Moltiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 3 (\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x)) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.16.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.2.1

$\frac{x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot 3}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.16.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = \frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 - 2 x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.16.3

Riordina i termini.

$f' (x) = (1 - 2 x) (\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.16.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.4.1

Moltiplica $1 - 2 x$ per $\frac{3 x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - 2 x) (3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.16.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $1 - 2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.1.16.5

Per scrivere $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.6

$3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.8.1

Scomponi $3$ da $3 (1 - 2 x) x + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.8.1.1

Scomponi $3$ da $3 (1 - 2 x) x$ .

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.1.2

Scomponi $3$ da $3 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.1.3

Scomponi $3$ da $3 ((1 - 2 x) x) + 3 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ .

$f' (x) = \frac{3 ((1 - 2 x) x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (1 x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x \cdot x + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.8.4.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 (x \cdot x) + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.6

Moltiplica ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.8.6.1

Sposta ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 ({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.6.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.6.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 {(x - x^{2})}^{\frac{2}{2}})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.6.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.7

Semplifica $2 {(x - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 (x - x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.8

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x + 2 (- x^{2}))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{3 (x - 2 x^{2} + 2 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.10

Somma $x$ e $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 2 x^{2} + 3 x - 2 x^{2})}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.11

Sottrai $2 x^{2}$ da $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (- 4 x^{2} + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.12

Scomponi $x$ da $- 4 x^{2} + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.16.8.12.1

Scomponi $x$ da $- 4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x) + 3 x)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.12.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x) + x \cdot 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.8.12.3

Scomponi $x$ da $x (- 4 x) + x \cdot 3$ .

$f' (x) = \frac{3 (x (- 4 x + 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

$f' (x) = \frac{3 x (- 4 x + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.9

Scomponi $- 1$ da $- 4 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x) + 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.10

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x) - 1 \cdot - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.11

Scomponi $- 1$ da $- (4 x) - 1 (- 3)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.12

Riscrivi $- (4 x - 3)$ come $- 1 (4 x - 3)$ .

$f' (x) = \frac{3 x (- 1 (4 x - 3))}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.16.14

Riordina i fattori in $- \frac{(3 x) (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x (4 x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $4 x - 3$ uguale a $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Risolvi $4 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 3$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 3$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (4 x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{3}{4}$

Passaggio 5.4

Escludi le soluzioni che non rendono $- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ vera.

$x = \frac{3}{4}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{{(x - x^{2})}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{3 x (4 x - 3)}{2 \sqrt{x - x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x - x^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x - x^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - x^{2}}$ come ${(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x - x^{2}) = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 (- x^{2}) = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$4 u - 4 u^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.1.2

Scomponi $4 u$ da $4 u - 4 u^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Scomponi $4 u$ da $4 u$ .

$4 u (1) - 4 u^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.1.2.2

Scomponi $4 u$ da $- 4 u^{2}$ .

$4 u (1) + 4 u (- u) = 0$

Passaggio 6.3.3.1.2.3

Scomponi $4 u$ da $4 u (1) + 4 u (- u)$ .

$4 u (1 - u) = 0$

Passaggio 6.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$4 x (1 - x) = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 6.3.3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3.3.4

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 6.3.3.4.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 6.3.3.4.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.4.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 6.3.3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (1 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x - x^{2}}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - x^{2} < 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x - x^{2} = 0$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $x$ da $x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

Passaggio 6.5.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$x (1 - x) = 0$

Passaggio 6.5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 6.5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5.5

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 6.5.5.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 6.5.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.5.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 6.5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 6.5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (1 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 1$

Passaggio 6.5.7

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 6.5.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.5.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) - {(- 2)}^{2} < 0$

Passaggio 6.5.8.1.3

Il lato sinistro di $- 6$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.5.8.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.5$

Passaggio 6.5.8.2.2

Sostituisci $x$ con $0.5$ nella diseguaglianza originale.

$(0.5) - {(0.5)}^{2} < 0$

Passaggio 6.5.8.2.3

Il lato sinistro di $0.25$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.5.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 6.5.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$(4) - {(4)}^{2} < 0$

Passaggio 6.5.8.3.3

Il lato sinistro di $- 12$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.5.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < 0$ Vero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 6.5.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 0$ o $x > 1$

Passaggio 6.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

$x \leq 0, x \geq 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, \infty)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{3}{4}, 0, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{3 (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 (8 {(\frac{3}{4})}^{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - (\frac{3}{4}))}$

Passaggio 9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3 (8 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 (8 \frac{9}{4^{2}} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{3 (8 (\frac{9}{16}) - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Scomponi $8$ da $16$ .

$\frac{3 (8 \frac{9}{8 (2)} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 \frac{9}{8 \cdot 2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 12 (\frac{3}{4}) + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} + 4 (- 3) \frac{3}{4} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (\frac{9}{2} + 4 \cdot - 3 \frac{3}{4} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 3 \cdot 3 + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.6

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 9 + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.7

Per scrivere $- 9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.8

$- 9$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (\frac{9 - 9 \cdot 2}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.10.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{3 (\frac{9 - 18}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.10.2

Sottrai $18$ da $9$ .

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + 3)}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.11

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.12

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (\frac{- 9}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 \frac{- 9 + 3 \cdot 2}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.14.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{3 \frac{- 9 + 6}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.14.2

Somma $- 9$ e $6$ .

$\frac{3 (\frac{- 3}{2})}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3 \cdot - 1 \frac{3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.16

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.16.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (3 (\frac{3}{2}))}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.16.2

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- \frac{3 \cdot 3}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.2.16.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (1 - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} (\frac{4}{4} - \frac{3}{4})}$

Passaggio 9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{4 - 3}{4}}$

Passaggio 9.3.3

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Passaggio 9.3.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.4.1

$\frac{1}{4}$ e $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4}{4} {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.4.2

$\frac{4}{4}$ e ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Passaggio 9.3.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{4 {(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Passaggio 9.3.6

Dividi ${(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- {(\frac{3}{4})}^{2} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.7.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{3^{2}}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.7.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{4^{2}} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.7.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.8

Per scrivere $\frac{3}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.9.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.9.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(- \frac{9}{16} + \frac{3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{- 9 + 3 \cdot 4}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.11.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{- 9 + 12}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.11.2

Somma $- 9$ e $12$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{{(\frac{3}{16})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.3.12

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{16}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 9.3.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.13.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 9.3.13.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Passaggio 9.3.13.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.13.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{2 (\frac{1}{2})}}}$

Passaggio 9.3.13.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{1}}}$

Passaggio 9.3.13.4

Calcola l'esponente.

$\frac{- \frac{9}{2}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}}$

Passaggio 9.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9}{2}$ nel numeratore.

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.5.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.5.4

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.6

$- 9$ e $\frac{2}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{- 18}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{18}{3^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

$x = \frac{3}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3}{4}) = 3 (\frac{3}{4}) \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $3 (\frac{3}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

$3$ e $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{3 \cdot 3}{4} \cdot \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{(\frac{3}{4}) - {(\frac{3}{4})}^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{3^{2}}{4^{2}}}$

Passaggio 11.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{4^{2}}}$

Passaggio 11.2.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{9}{16}}$

Passaggio 11.2.5

Per scrivere $\frac{3}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{16}}$

Passaggio 11.2.6

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $16$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{9}{16}}$

Passaggio 11.2.6.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4}{16} - \frac{9}{16}}$

Passaggio 11.2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3 \cdot 4 - 9}{16}}$

Passaggio 11.2.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.8.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{12 - 9}{16}}$

Passaggio 11.2.8.2

Sottrai $9$ da $12$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}$

Passaggio 11.2.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{16}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 11.2.10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.10.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 11.2.10.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

Passaggio 11.2.11

Moltiplica $\frac{9}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.11.1

Moltiplica $\frac{9}{4}$ per $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 \sqrt{3}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 11.2.11.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (\frac{3}{4}) = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 11.2.12

La risposta finale è $\frac{9 \sqrt{3}}{16}$ .

$y = \frac{9 \sqrt{3}}{16}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- {(0)}^{2} + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Passaggio 13.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(- 0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 {(0 + 0)}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Passaggio 13.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Passaggio 13.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - (0))}$

Passaggio 13.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Passaggio 13.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} (1 - (0))}$

Passaggio 13.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0^{1} (1 - (0))}$

Passaggio 13.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.4.1

Calcola l'esponente.

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{4 \cdot 0 (1 - (0))}$

Passaggio 13.3.4.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0 (1 - (0))}$

Passaggio 13.3.4.3

Sottrai $0$ da $1$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0 \cdot 1}$

Passaggio 13.3.4.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Passaggio 13.3.4.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Passaggio 13.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{3 (8 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 3)}{0}$

Passaggio 13.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 15