Calcolo Esempi

$f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.10

$- 2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.12

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Passaggio 1.13.2

Elimina il fattore comune.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.15.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.15.3

Riordina i fattori di $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.4

Espandi $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.5.1.1

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.2

Moltiplica $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.5.1.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.3.3

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.5.1.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.5.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.5.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.15.5.1.6.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Passaggio 1.15.5.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Passaggio 1.15.5.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Passaggio 1.15.5.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Passaggio 1.15.5.2

Sottrai $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 6 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 2 - 6 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.8

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - 6 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.9

$- 6$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.10

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{- 6}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.11

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.12

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.12.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 2 + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.12.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 2 + \frac{- 3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x - 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 2 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.1.3.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 4.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 4.1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 4.1.10

$- 2$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 4.1.11

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.12

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.13.1

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})})$

Passaggio 4.1.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.14

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 (x - 2 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (2 x + 2 (- 2 x^{\frac{1}{2}})) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.15.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f' (x) = (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.15.3

Riordina i fattori di $(2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$f' (x) = (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.4

Espandi $(1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 1 (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x - 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 1 (2 x) + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.5.1.1

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x + 1 (- 4 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.2

Moltiplica $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.3

Moltiplica $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.5.1.3.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.3.2

$- 2$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.3.3

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.4

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.5

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.5.1.5.1

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.5.2

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.5.1.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 (x^{- \frac{1}{2}} x) - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + 1} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.5.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{- 1 + 2}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.5.5

Somma $- 1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.5.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ nel numeratore.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 4 x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.15.5.1.6.2

Scomponi $x^{\frac{1}{2}}$ da $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Passaggio 4.1.15.5.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot (x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4)$

Passaggio 4.1.15.5.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot - 4$

Passaggio 4.1.15.5.1.7

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f' (x) = 2 x - 4 x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Passaggio 4.1.15.5.2

Sottrai $2 x^{\frac{1}{2}}$ da $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi $x$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 = 0$

Passaggio 5.2.2

Sia $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{\frac{1}{2}}$ con $u$ .

$2 u^{2} - 6 u + 4 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2$ da $2 u^{2} - 6 u + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $2$ da $2 u^{2}$ .

$2 (u^{2}) - 6 u + 4 = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Scomponi $2$ da $- 6 u$ .

$2 (u^{2}) + 2 (- 3 u) + 4 = 0$

Passaggio 5.2.3.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 u^{2} + 2 (- 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Passaggio 5.2.3.4

Scomponi $2$ da $2 u^{2} + 2 (- 3 u)$ .

$2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2 = 0$

Passaggio 5.2.3.5

Scomponi $2$ da $2 (u^{2} - 3 u) + 2 \cdot 2$ .

$2 (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Scomponi $u^{2} - 3 u + 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 5.2.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$2 ((u - 2) (u - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (u - 2) (u - 1) = 0$

Passaggio 5.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{\frac{1}{2}} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{\frac{1}{2}} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{\frac{1}{2}} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Passaggio 5.4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Passaggio 5.4.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 2^{2}$

Passaggio 5.4.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 2^{2}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = 4$

Passaggio 5.5

Imposta $x^{\frac{1}{2}} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x^{\frac{1}{2}} - 1$ uguale a $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $x^{\frac{1}{2}} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{\frac{1}{2}} = 1$

Passaggio 5.5.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 1^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.1.2

Semplifica.

$x = 1^{2}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x^{\frac{1}{2}} - 2) (x^{\frac{1}{2}} - 1) = 0$ vera.

$x = 4, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$2 x - 6 \sqrt{x^{1}} + 4$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$2 x - 6 \sqrt{x} + 4$

Passaggio 6.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x < 0$

Passaggio 6.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 - \frac{3}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$2 - \frac{3}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 - \frac{3}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Passaggio 9.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 - \frac{3}{2^{1}}$

Passaggio 9.1.4

Calcola l'esponente.

$2 - \frac{3}{2}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 9.3

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 - 3}{2}$

Passaggio 9.5.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 10

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = {((4) - 2 \sqrt{4})}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (4) = {(4 - 2 \sqrt{2^{2}})}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (4) = {(4 - 2 \cdot 2)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (4) = {(4 - 4)}^{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (4) = 0^{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (4) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$2 - \frac{3}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$2 - \frac{3}{1}$

Passaggio 13.1.2

Dividi $3$ per $1$ .

$2 - 1 \cdot 3$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 - 3$

Passaggio 13.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$- 1$

Passaggio 14

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {((1) - 2 \sqrt{1})}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (1) = {(1 - 2 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (1) = {(1 - 2)}^{2}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (1) = {(- 1)}^{2}$

Passaggio 15.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (1) = 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = {(x - 2 \sqrt{x})}^{2}$ .

$(4, 0)$ è un minimo locale

$(1, 1)$ è un massimo locale

Passaggio 17