Calcolo Esempi

$\tan^{-1} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

La derivata di $\tan^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 1)}^{- 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.4.2.3

$x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 1)}^{2}$ per $1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 1$ da $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 3.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f''' (x) = - 2 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.9

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.10

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.13

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.14

Somma $1$ e $1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.16

$- 2$ e $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{(2) (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f''' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f''' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.18.3.1

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.3.3

Scomponi $2$ da $2 (- 3 x^{2}) + 2 (1)$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.5

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.7

Riscrivi $- (3 x^{2} - 1)$ come $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3.18.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

Passaggio 3.18.10

Moltiplica $\frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$