Calcolo Esempi

$- e^{- t^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- e^{- t^{2}}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}}]$ .

$f' (t) = - \frac{d}{d t} e^{- t^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- t^{2}$ .

$f' (t) = - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (t) = - (e^{u} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t^{2}$ .

$f' (t) = - (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = - e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (t) = 1 e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $e^{- t^{2}}$ per $1$ .

$f' (t) = e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (t) = e^{- t^{2}} (2 t)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- t^{2}} (2 t)$ .

$f' (t) = 2 e^{- t^{2}} t$

Passaggio 1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{- t^{2}} t$ .

$f' (t) = 2 t e^{- t^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t e^{- t^{2}}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t e^{- t^{2}}]$ .

$f'' (t) = 2 \frac{d}{d t} (t e^{- t^{2}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = e^{- t^{2}}$ .

$f'' (t) = 2 (t \frac{d}{d t} (e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (t (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{u} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- t^{2}$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} (- (2 t))) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (t) = 2 (t (e^{- t^{2}} (- 2 t)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.5

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (t \cdot t (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.6

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f'' (t) = 2 (t \cdot t (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (t) = 2 (t^{1 + 1} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.8.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- t^{2}}$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 \cdot e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $e^{- t^{2}}$ per $1$ .

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (t) = 2 (t^{2} (- 2 e^{- t^{2}})) + 2 e^{- t^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (t) = - 4 t^{2} e^{- t^{2}} + 2 e^{- t^{2}}$

Passaggio 2.11.3

Riordina i termini.

$f'' (t) = - 4 e^{- t^{2}} t^{2} + 2 e^{- t^{2}}$

Passaggio 2.11.4

Riordina i fattori in $- 4 e^{- t^{2}} t^{2} + 2 e^{- t^{2}}$ .

$f'' (t) = - 4 t^{2} e^{- t^{2}} + 2 e^{- t^{2}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 t^{2} e^{- t^{2}} + 2 e^{- t^{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [- 4 t^{2} e^{- t^{2}}] + \frac{d}{d t} [2 e^{- t^{2}}]$ .

$f''' (t) = \frac{d}{d t} (- 4 t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d t} [- 4 t^{2} e^{- t^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 4 t^{2} e^{- t^{2}}$ rispetto a $t$ è $- 4 \frac{d}{d t} [t^{2} e^{- t^{2}}]$ .

$f''' (t) = - 4 \frac{d}{d t} (t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = e^{- t^{2}}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} \frac{d}{d t} (e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2})) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- (2 t))) + e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (t^{2})) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- (2 t))) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{2} (e^{- t^{2}} (- 2 t)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Sposta $t$ .

$f''' (t) = - 4 (t \cdot t^{2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.8.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$f''' (t) = - 4 (t \cdot t^{2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.8.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f''' (t) = - 4 (t^{1 + 2} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.8.3

Somma $1$ e $2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (e^{- t^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- t^{2}}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + \frac{d}{d t} (2 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 e^{- t^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 e^{- t^{2}}$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [e^{- t^{2}}]$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 \frac{d}{d t} (e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- t^{2}$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2}))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} (- \frac{d}{d t} t^{2}))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} (- (2 t)))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) + 2 (e^{- t^{2}} (- 2 t))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}}) + e^{- t^{2}} (2 t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (t) = - 4 (t^{3} (- 2 e^{- t^{2}})) - 4 (e^{- t^{2}} (2 t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f''' (t) = 8 (t^{3} (e^{- t^{2}})) - 4 (e^{- t^{2}} (2 t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f''' (t) = 8 t^{3} e^{- t^{2}} - 8 (e^{- t^{2}} (t)) - 4 e^{- t^{2}} t$

Passaggio 3.4.2.3

Sottrai $4 e^{- t^{2}} t$ da $- 8 e^{- t^{2}} t$ .

$f''' (t) = 8 t^{3} e^{- t^{2}} - 12 e^{- t^{2}} t$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$f''' (t) = 8 e^{- t^{2}} t^{3} - 12 e^{- t^{2}} t$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori in $8 e^{- t^{2}} t^{3} - 12 e^{- t^{2}} t$ .

$f''' (t) = 8 t^{3} e^{- t^{2}} - 12 t e^{- t^{2}}$