Calcolo Esempi

$y = 2 x - \tan (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 x - \tan (x)$ come funzione.

$f (x) = 2 x - \tan (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \tan (x))$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \tan (x)$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - \sec^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sec^{2} (x))$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sec^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sec^{2} (x)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Passaggio 2.2.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 - (2 u \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Passaggio 2.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} (\sec (x)))$

Passaggio 2.2.2.3

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Passaggio 2.2.2.4

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Passaggio 2.2.2.5

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 (\sec (x) \sec (x)) \tan (x))$

Passaggio 2.2.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))$

Passaggio 2.2.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))$

Passaggio 2.2.2.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $\sec^{2} (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Imposta $\sec^{2} (x)$ uguale a $0$ .

$\sec^{2} (x) = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $\sec^{2} (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sec (x) = \pm 0$

Passaggio 3.3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$\sec (x) = 0$

Passaggio 3.3.2.3

L'intervallo della secante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 3.4

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $\tan (x)$ uguale a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $\tan (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4.2.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + 0$

Passaggio 3.4.2.4

Somma $π$ e $0$ .

$x = π$

Passaggio 3.4.2.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 3.4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.4.2.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.4.2.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) = 0$ vera.

$x = π n, π + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Il punto trovato sostituendo in $f (x) = 2 x - \tan (x)$ è $(,)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(,)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty,)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (- 0.1) \tan (- 0.1)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 0.1$ , la derivata seconda è $0.20268949$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty,)$ .

Crescente su $(- \infty,)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = - 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$ .

$- 2 \sec^{2} (0.1) \tan (0.1)$

Passaggio 7.3

Per $0.1$ , la derivata seconda è $- 0.20268949$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(, \infty)$ .

Decrescente su $(, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(,)$ .

$(,)$

Passaggio 9