Calcolo Esempi

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sqrt{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

Passaggio 1.1.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\sqrt{x})$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.1.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.1.2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Passaggio 1.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 1.1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Passaggio 1.1.2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2.11

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.12

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.13.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.13.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.13.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.13.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.13.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.13.5.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.13.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Passaggio 1.1.2.2.14

Sposta $x^{- \frac{3}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 1.1.2.2.15

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 1.1.2.2.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sottrai $\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ da $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$[0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $[0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - \frac{1}{4 {(2)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{4 + 3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.6.2

Somma $4$ e $3$ .

$f'' (2) = - \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2^{\frac{7}{2}}}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $[0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è negativo.

Funzione concava su $[0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5