Calcolo Esempi

$\int_{x}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$

Passaggio 1

Dividi l'integrale in due integrali, dove $c$ è un qualche valore tra $x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t + \int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{x}^{c} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Passaggio 3

Inverti i limiti dell'integrazione.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Passaggio 4

Trova la derivata di $- \int_{c}^{x} 12 t^{2} - 6 t d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t]$

Passaggio 5

Trova la derivata di $\int_{c}^{2 x} 12 t^{2} - 6 t d t$ rispetto a $x$ usando il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena.

$- (12 x^{2} - 6 x) + \frac{d}{d x} [2 x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Passaggio 6

Differenzia.

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Passaggio 6.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \frac{d}{d x} [x] (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 \cdot 1 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Passaggio 6.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 x)}^{2} - 6 (2 x))$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 {(2 (x))}^{2} - 6 (2 x))$

Passaggio 6.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (2^{2} x^{2}) - 6 (2 x))$

Passaggio 6.3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (12 (4 x^{2}) - 6 (2 x))$

Passaggio 6.3.3.3

Moltiplica $4$ per $12$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 6 (2 x))$

Passaggio 6.3.3.4

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$- (12 x^{2} - 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2} - 12 x)$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (12 x^{2}) - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Passaggio 7.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$- 12 x^{2} - (- 6 x) + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 2 (48 x^{2}) + 2 (- 12 x)$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $48$ per $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} + 2 (- 12 x)$

Passaggio 7.3.4

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$- 12 x^{2} + 6 x + 96 x^{2} - 24 x$

Passaggio 7.3.5

Somma $- 12 x^{2}$ e $96 x^{2}$ .

$84 x^{2} + 6 x - 24 x$

Passaggio 7.3.6

Sottrai $24 x$ da $6 x$ .

$84 x^{2} - 18 x$