Calcolo Esempi

$y = e^{x}$ , $y = x e^{x^{2}}$ , $(1, e)$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$e^{x} = x e^{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x = 1$

Passaggio 1.3

Risolvi $y$ quando $x = 1$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $1$ per $x$ in $y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1 \cdot e^{1^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y = (1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Semplifica $(1) \cdot e^{{(1)}^{2}}$ .

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Passaggio 1.3.2.3.1

Moltiplica $e^{{(1)}^{2}}$ per $1$ .

$y = e^{{(1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y = e^{1}$

Passaggio 1.3.2.3.3

Semplifica.

$y = e$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, e)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $e$ .

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Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - (e^{x}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 1$ per $e^{x}$ .

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} - e^{x} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{e} x e^{x^{2}} d x + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Passaggio 3.4

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 3.4.1

Sia $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Differenzia $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Passaggio 3.4.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Passaggio 3.4.1.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Passaggio 3.4.1.4.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{1^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica.

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Passaggio 3.4.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = e^{1}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica.

$u_{lower} = e$

Passaggio 3.4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Passaggio 3.4.5

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = e$

$u_{upper} = e^{e^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{e}^{e^{e^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Passaggio 3.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} + \int_{1}^{e} - e^{x} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - \int_{1}^{e} e^{x} d x$

Passaggio 3.7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} u_{2}]_{e}^{e^{e^{2}}} - (e^{x}]_{1}^{e})$

Passaggio 3.8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Calcola $\frac{1}{2} u_{2}$ per $e^{e^{2}}$ e per $e$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - (e^{x}]_{1}^{e})$

Passaggio 3.8.2

Calcola $e^{x}$ per $e$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{e^{2}}) - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Passaggio 3.8.3

Semplifica.

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Passaggio 3.8.3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{e^{2}}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{1}{2} e - ((e^{e}) - e^{1})$

Passaggio 3.8.3.2

$e$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - ((e^{e}) - e^{1})$

Passaggio 3.8.3.3

Semplifica.

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - \frac{e}{2} - (e^{e} - e)$

Passaggio 3.8.3.4

Per scrivere $- (e^{e} - e)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} - (e^{e} - e) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e}{2}$

Passaggio 3.8.3.5

$- (e^{e} - e)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{e^{2}}}{2} + \frac{- (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Passaggio 3.8.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{e^{2}} - (e^{e} - e) \cdot 2}{2} - \frac{e}{2}$

Passaggio 3.8.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e)}{2} - \frac{e}{2}$

Passaggio 3.9

Semplifica.

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Passaggio 3.9.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 (e^{e} - e) - e}{2}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.9.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} - 2 (- e) - e}{2}$

Passaggio 3.9.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + 2 e - e}{2}$

Passaggio 3.9.3

Sottrai $e$ da $2 e$ .

$\frac{e^{e^{2}} - 2 e^{e} + e}{2}$

Passaggio 4